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分块矩阵的Drazin逆在数值分析、马尔可夫链、微分万程、差分万程、密码字和控制论等领域有着重要的应用,因此研究分块矩阵的Drazin逆表示形式有十分重要的意义。
1979年,Campbell讨论了分块矩阵的Drazin逆在求奇异常系数矩阵差分方程解中的应用,提出了[A B C D](A,D是方阵)形式分块矩阵的Drazin逆(群逆)表达式的open问题,由于此问题的困难性,至今仍没有被完全解决。在随后的几十年里,学者们都是在一些特殊条件下给出了分块矩阵[A B C D]的Drazin逆表达式。本文给出斯舒尔补S=D-CADB=0的分块矩阵[A B C D]在一些条件下的Drazin逆表达式。
本文在第一章中介绍了矩阵广义逆的发展概况、研究意义以及国内外的研究现状;在第二章中介绍了Moore-Penrose逆、{i,j,k}逆的概念、性质、构造方法及各种广义逆的应用;在第三章中介绍了本文的主要结论,其中包括:
1.在S=D-CADB=0,ADBC=0,AπABC=0的条件下,给出了分块矩阵M=[A B C D]的Drazin逆表达式;
2.在S=D-CADB=0,ABCA=0,CAAπ=0,CAπB=0的条件下,给出了分块矩阵M=[A B C D]的Drazin逆表达式;
3.在S=D-CADB=0,ADBC=0和CAAπ=0的条件下,给出M=[A B C D]的Drazin逆表达式;
4.在S=D-CADB=0,ADBC=0和CAAπ=0的条件下,给出M=[A B C D]的Drazin逆表达式;
5.在S=D-CADB=0,AπBCAD=0,AAπBC=0和CAπBC=0的条件下,给出M=[A B C D]的Drazin逆表达式;
6.在S=D-CADB=0,ADBCAπ=0,BCAπB=0的条件下,给出M=[A B C D]的Drazin逆表达式;
7.在S=D-CADB=0,Caπ=0的条件下,给出M[A B C D]的Drazin逆表达式。