泛圈图和哈密尔顿连通图一直是图论哈密尔顿问题中的重要课题,不仅具有丰富的理论意义,更展现出强大的数学建模价值.哈密尔顿性问题至今是NP-完全的,学者们主要从参数条件和结构条件两方面研究相关定理,至今已取得许多著名定理.其中,禁用子图的哈密尔顿问题一直颇受学界重视,关于其研究的最新进展可以参考文献[2]-[8].本文主要研究禁用子图与图的结构以证明泛圈性和控制哈密尔顿连通性.在第一章,主要进行符号说明.在第二章,利用郑伟等人所证定理:若图G是2-连通的3K1-free图,则G是泛圈图,否则同构于C4或C5.在此基础上,我们将连通度和禁用子图点数同时增加,再次证得相关结论的成立.我们首先将禁用子图4K1的结构条件转化成独立数α为1,2,3的参数条件,本文主要研究α=3的情形.第一节,利用数学归纳与反证法等数学思想,刻画出当k ∈[6,n-1]时(k+1)-圈的存在性.我们对G中任意k-圈C定义映射:f(C)=max {|S∩V(C)||:S为G中最大独立集},选择C使得f(C)尽可能大.由f(C)的定义知,该函数取值f(C)∈{0,1,2,3}.在证明中,将根据其函数取值进行分类论证.第二节,主要考虑3-圈至6-圈的存在性,利用鸽笼原理与分类讨论等数学方法刻画出圈C的邻域与邻域并的局部图结构.综合两节内容,证明图G是泛圈图.在第三章,我们证明如下定理:设G是3-连通的无爪图.如果G的控制数为2,则图G为控制哈密尔顿连通图.首先定义新概念:控制哈密尔顿连通图.若S为图G的任意最小控制集,对V(G)\S中任意两点均存在以其为端点的哈密尔顿路,则称图G为控制哈密尔顿连通图.在第一节,我们在非哈密尔顿路的最长路条件下,通过完善路邻域刻画出路结构;在第二节,我们根据给定的任意最小控制集S与最长路的相对位置进行分情况分析.综合两节内容刻画出性质的成立.在第四章,主要进行归纳展望.其一,能否将k=3,4K1-free图的泛圈性继续推广为κ=k,(k+1)K1-free图的哈密尔顿方面性质.其二,通过正面刻画图结构证明哈密尔顿连通图的算法繁琐复杂,针对控制集元素为端点问题,能否提出新方向.针对上述两个问题能否将禁用子图等结构条件转化为参数条件与独立数条件转化为线图条件来完善定理结果.