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著名的Yau猜想断言单位球面中的紧致嵌入极小超曲面的Laplace算子的第一特征值等于其维数.近年来有许多几何学家致力于对Yau猜想的研究,但是到目前为止,已有的结论只是一些关于第一特征值估计的不等式.作为本文的一个主要结果,本文证明了对于单位球面中的等参极小超曲面,Yau猜想是正确的.进一步地,对于等参超曲面的焦流形(实际上是球面的极小子流形),本文还证明了在一定维数条件下,它的第一特征值也是其维数.作为本文的第二个主要结果,以著名的Schoen-Yau-Gromov-Lawson的关于数量曲率的