函数的凸性是证明不等式的重要工具.凸函数定义中x，y，λ三个变量适当选取几个或全部，就可以构造一系列重要不等式.不仅如此，由凸函数理论发展起来的凸分析，还是逼近论、控制论、系统理论、运筹学、数理经济、工程技术等众多学科的重要理论基础之一，现已发展成为一门独立的数学分支. 本文在凸函数理论基础上，重点研究了广义凸函数：φ凸函数，r-平均凸函数和凸函数的有关单调性质及其不等式理论中的应用. 全文分为两章. 第一章分为三个部分，第一部分引进了基本概念；第二部分将Rado型不等式推广到φ凸函数类上，作为应用，也考虑了Rado型不等式在，r-平均凸函数的情况：第三部分利用r-平均凸函数的基本理论、判定定理研究了有关r-平均凸函数的几个单调性质及其应用. 第二章分为两个部分，第一部分研究了广义凸函数的积分不等式的推广问题；第二部分研究了r-平均凸函数的Hadamard型不等式的加细问题.