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微分方程和差分方程的振动性理论是微分方程和差分方程理论的一个十分重要的分支，它们在物理、化学、生物和许多经济领域有广泛的应用背景。近年来，有一大批学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较好的结果.
由于自然界中许多事物随着时间的变化其量的变化是离散的。所以用差分方程来描述这些现象比用微分方程更贴近于实际。因此，差分方程解的振动性的研究不仅具有重要的理论意义，而且具有较高的实用价值。而差分方程正解的存在性是差分方程的振动性理论的一个重要的研究课题。
在本文中，我们通过引进加权范数和构造适当的映射，利用Banach压缩映射原理，给出了二阶自共轭非线性中立型差分方程的始终正解存在性的一系列充分条件。
我们考虑二阶自共轭非线性中立型差分方程
△(an△(xn-pnxn-τ))+f(n，xn-σ)=0(1)
始终正解的存在性。其中△为前差分算子，即△xn=xn-1-xn，τ、σ≥0为整数，an＞0、pn为实数序列，且limn→∞pn=p，p为有限实数；而f满足如下条件：
(1)f(n，x)关于x连续，xf(n，x)＞0，对于x≠0；
(2)f对于0≤u，v≤M满足Lipschitz条件：
|f(n，u)-f(n，v)|≤kn|u-v|(2)
我们就以下四种情形：
(1)p∈[0，1)；
(2)p∈(-1，0)；
(3)p∈(-∞，-1)；
(4)p∈(1，+∞)。
分别得到了方程(1)始终正解的存在性结果。主要结果如下：
定义序列集合X={un∶0≤un≤M，n≥n0；un=un0,n0-r≤n≤n0}，其中M为某个正常数。
定理1.设p∈[0，1),pn≤p，且对于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=s(θ,uθ-σ)＜M(1-)(3)
此外存在N＞1使得
Nsks＜1，∞∏s=n0(1-Nsks/(a)s)-1＜∞,0＜(p+1/N)l＜1(4)
其中(a)s=min{aθ，s-r≤θ≤s}，r=max{τ，σ}，l=Sup{G(n-r)/G(n),，n≥n0}，G(n)=∏n-10s=n0(1-Nsks/(a)s)。则方程(1)有一个始终正解xn，满足limn→∞xn=M。
定理2.设p∈(-1，0)，p≤pn＜0,且对于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=sf(θ,uθ-σ)＜M(1+p)(5)
此外，存在N＞1使得(4)成立，且0＜(1/N-p)l＜1)，l同定理1所定义。则方程(1)有一个始终正解xn，满足limn→∞xn=M/1-p。
定理3.设p∈(-∞，-1)，pn≤p，且对于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=sf(θ，uθ-σ)＜M(|p|-1)(6)
此外，存在N＞1使得(4)成立，且0＜1/|p|(1+1/N)＜1)，其中l=Sup{G(n-σ)G(n)，，n≥n0}，G(n)同定理1所定义。则方程(1)有一个始终正解xn，满足limn→∞xn=-pM/1-p。
定理4.设p∈(1，+∞)，pn≥p，且对于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=sf(θ,uθ-σ)＜M(p-1)/1+p(7)
此外，存在N＞1使得(4)成立，且0＜1/p(1+1l/N＜1)，l同定理3所定义。则方程(1)有一个始终正解xn，满足limn→∞xn=pM/1+p。