论文的主要工作是应用Gr(o|¨)bner基理论讨论有理系数高次多元多项式的可约性、二阶多项式矩阵的因子分解和求解平面图上所有的汉密顿圈。本论文由五章组成，前两章是介绍Gr(o|¨)bner基理论。第一章是文章的绪论，介绍计算机对数学的影响、计算代数和计算机代数中的基本概念、常用的数学软件—Maple及Gr(o|¨)bner基理论的形成．第二章介绍多Gr(o|¨)bner基的算法和Gr(o|¨)bner基的优化算法和交换环上多项式理想的Gr(o|¨)bner基。文章第三章将Gr(o|¨)bner基理论应用到高次多元多项式因式分解问题，得到了因式分解的判断方法：将高次多元多项式因式分解转化为方程组解的问题，依据方程组中的多项式构成理想的Gr(o|¨)bner基G作出判断，如果G没有有分式解，多项式不能分解；如果G有分式解，多项式能分解．并且得到了与多项式因式分解有关的一些具体性质．同时讨论了二阶多元多项式矩阵因子分解，可分解的充要条件是它的行列式可以分解，并讨论了运用环上Gr(o|¨)bner基作二阶矩阵的因子分解。文章第五章运用了平面图上由片的概念导出的等价关系证明了平面图上任何一条汉密顿圈确定图上至少一个染色解；平面图上如果存在汉密顿圈，则必然有一个染色方案存在使得这条汉密顿圈是其中染两种颜色面与染另外两种颜色的面的交界边。并且利用这一性质，并结合Gr(o|¨)bner基方法给出了一种可以找到平面图上所有汉密顿圈的算法，最后利用Gr(o|¨)bner基方法编程实现了这一算法。