有关Rm空间上动力系统的全局稳定性、结构稳定性以及分支问题的数值算法等已经有了非常多经典的结果,参见文献[4,5,6,33,65,62].随着科技的发展,在很多领域出现了流形上的动力系统,如网络分析、化工系统、生态系统、最优控制以及受限力学系统等.与欧式空间上的动力系统相比,有关流形上动力系统的研究开始较晚,而且流形的相对局限性给流形上动力系统的研究也带来了许多困难,很多欧式空间中的理论结果无法直接应用到流形上.近二十年来,尽管在流形上动力系统稳定性的分析以及分支问题的数值计算方面已经出现了大量的研究工作,参见文献[20,27,58,59,34,25],但人们对这方面的认识还远远不够深入.本文主要研究了光滑流形上连接轨道的数值计算方法以及离散化对流形上连接轨道的保持性.本文的主要工作可分为以下两个部分：第一部分主要研究了求解流形上连接轨道的数值计算方法.我们将Rm空间中平衡点的双曲性定义及连接轨道的非退化性条件扩展到了流形上的动力系统中去.为了能更清晰地研究流形上的动力系统,我们首先研究了光滑流形的一些基本性质.根据流形的结构特点,我们构造了一个光滑且可逆的矩阵值函数.利用该矩阵值函数,我们得到了一个等价的微分代数方程.通过使用扩展方程方法,我们构造了一个扩展方程,并证明了非退化连接轨道及其分支参数是该扩展方程的正则解.数值求解方面,以数值求解欧式空间中同宿轨道、异宿轨道的射影边界条件为基础,我们提出了求解流形上连接轨道的改进射影边界条件,并将定义在实数轴的流形上的连接轨道截断到有限的时间区间上,得到截断的扩展方程.我们证明了在截断的连接轨道附近,该截断的扩展方程存在唯一的正则解.最后,我们对截断所带来的误差进行了细致的分析,证明了该误差是随着截断区间的增大以指数率衰减的.同时,我们使用了三种不同的离散格式去离散扩展方程中常微分方程的部分,得到了不同的数值离散方程以进行数值实验,验证了之前的理论结果.第二部分主要研究了数值离散化对流形上连接轨道的保持性.首先将Rm空间中离散连接轨道的γ-次相切性定义以及关于分支参数的非退化性条件扩展到了流形上的离散连接轨道的情形.我们证明了流形上连续动力系统关于分支参数非退化的连接轨道的离散采样是1-次相切且关于分支参数是非退化的,并且该离散的连接轨道为一离散扩展方程的正则解.进一步,若原流形上的微分方程存在正则的连接轨道,则解该方程的d（d>1）阶数值离散格式也存在正则的连接轨道,并且当步长ε→0时,离散的连接轨道以εd阶的速率逼近到原连续问题的连接轨道.特别地,当只有一个参数时,我们证明了重要的二则一性：数值离散方程的连接轨道或者是横截的,或者是1-次相切且非退化的.并且,这族连接轨道中至少存在两个1-次相切的连接轨道.最后应用流形上的向后误差分析理论,对数值离散格式中使连接轨道存在的参数λ的取值波动范围进行了分析,我们证明了参数取值波动范围大小的阶数与向量场,迭代格式以及流形光滑的阶数是一致的,即若它们是Cr的,则参数取值波动范围大小为O（εr）；若它们是解析的,则为O（e-C/ε）.