快速、准确且稳定地求解线性和非线性代数方程是数值分析领域中的最基本问题之一。非线性矩阵方程出现在科学计算和工程应用的诸多领域，研究这类问题解的存在性与其它性质，以及相应的数值方法，具有重要的理论意义和很高的实用价值。由于这类问题不同于一般的线性和非线性代数方程，因而它也是一个十分困难和具有挑战性的课题。　　 本文重点研究了两类二次矩阵方程：二次多项式矩阵方程和非对称代数Ric-cati矩阵方程。一方面，这两种简单的矩阵方程是目前应用最广泛的非线性矩阵方程，它们不仅在二次特征值问题、带约束的整体最小二乘问题和有理矩阵函数的构造等有着重要的价值，而且在结构力学、最优控制和高能物理等实际问题中都有着重要的应用。另一方面，对这类方程的讨论和解决将有助于加深对其它非线性矩阵方程的认识和解决。因此，我们对这两类二次矩阵方程进行了较为深入的研究，尤其是构造了一系列实用而有效的迭代算法，进行了理论分析，并做了大量的数值实验。　　 首先，就如何数值求解二次多项式矩阵方程构造了两类数值迭代方法。一类是修正的Bernoulli迭代法，另一种是高次收敛的迭代法。Bernoulli迭代法是求解二次多项式矩阵方程的一类有效实用并且简单的函数迭代方法，我们利用数值求解线性代数方程组的Gauss-Seidel松弛搜索技巧和矩阵修正的Sherman-MorrisonWoodbury公式，首先建立了一类修正的Bernoulli迭代法及其分块形式。然后，在一定条件下建立了新方法的收敛定理。最后，通过数值实验证实了新方法的合理性和有效性。求解非线性问题目前最有效的方法是牛顿类迭代方法。为提高牛顿法的效率，不同于一般的精确线搜索牛顿法，我们考虑在尽量少增加计算量的前提下，充分利用二次多项式矩阵函数的二阶导数为常算子这一重要性质，详细讨论了高次收敛方法并建立了求解二次多项式矩阵方程的Chebyshev迭代法和一类四次收敛的迭代法。我们还分析了这两种高次方法的收敛性，数值实验也表明了这类方法的可行性和有效性。　　 对于与粒子运输问题有关的一类非对称代数Riccati方程，基于问题的特殊结构，并利用非线性块分裂迭代思想，我们首先建立了求解该问题的三类非常有效的快速迭代方法。其次，我们建立了新方法的单调收敛性，并分析了其可行性和有效性原理。再次，我们应用新方法对原方程解的上下界给出了更为严格的估计。最后，我们结合Newton迭代法，提了一种自适应的混合算法，较完整地解决了这类实际问题。对于这类特殊的非对称代数Riccati方程的推广的一般形式，不同于其它基于避免计算低阶Sylvester方程的方法，我们考虑应用一类二次收敛的加倍方法而不是经典的直接法来数值求解Sylvester矩阵方程，这样我们就可以构造一类用Newton迭代作为外迭代，而用加倍算法作为内迭代的不精确Newton迭代法。此外，我们还给出了相应的具有全局收敛性的实用算法，分析了算法的收敛性质并建立了新算法的收敛定理。数值实验表明，这类不精确Newton迭代法对于求解非对称代数Riccati方程是可行和有效的。