本文着眼于椭圆型偏微分方程的数值求解，重点研究了其在一类非规则结构化网格上的有限差分和有限元离散方法以及相应的快速解法。　　 经典有限元和有限差分方法在处理二维问题时多采用三角形和四边形网格。然而，平面正则剖分的方式除了三角形和四边形外还有六边形，并且与三角形和四边形相比六边形更接近于圆。六边形也广泛存在于自然界以及诸如材料科学、核工程等很多应用领域之中。这些因素启发我们研究六边形网格。本文研究的六边形网格主要有两类：一是对偶六边形网格，可以看作是平面三向三角形网格(由单一三角形剖分构成的网格)的对偶网格；另一类称作平行六边形网格，是由正六边形网格做仿射变换后得到的。　　 在本文第一部分，我们构造了对偶六边形网格上Laplace算子的成对四点差分格式，证明并且通过数值实验印证了该格式虽然仅有一阶截断误差，但能够达到二阶整体精度。我们证明的主要思想是利用矩阵变换，可以把对偶六边形网格解耦为两套粗三向三角形网格，而三角形网格上的七点差分格式则具有二阶精度。通过调用粗网格上的快速求解器，也可以把这种解耦思想用于求解四点格式的离散线性方程组。　　 本文第二部分的工作是研究平行六边形上的有限元。我们简要回顾了三种构建六边形元的思想，并重点研究了基于不完全多项式插值的方法。我们选择的不完全多项式空间是三向坐标意义下的三线性和旋转三线性空间，分别对应于基于边和基于顶点的六自由度六边形元。并且我们还提出对插值条件可以再额外增加单元上平均积分，从而获得两种新的七自由度六边形元。对这四种非协调元，我们都给出了先验误差估计，它们在L2模(或能量模)下都能达到二阶(或一阶)精度。这一误差估计也得到了数值实验的验证。　　 在第三部分，我们把目光放在典型的一阶椭圆方程组——Cauchy-Riemann方程上。受传统笛卡尔交错网格的启发，我们提出一类新的非规则交错网格，它由任意三向三角形网格及其对偶六边形网格组成。我们构造了这种网格上的一类三色差分格式，并且证明了这种格式与四点格式类似，都有二阶整体精度，虽然截断误差仅一阶。数值实验验证了差分格式的精度，并且检验了我们利用网格解耦思想提出的快速解法的效果。