Cahn-Hilliard型方程是一类重要的高阶非线性扩散方程，它来源于自然界中广泛存在的扩散现象，如热力学中两相物质之间相互扩散现象，生物种群的竞争与排斥现象，河床迁移的过程，固体表面上徼滴的扩散等.在过去的几十年中，特别是近二十年来，国内外众多的学者对这类方程进行了广泛的研究. 早在1958年，J.W.Cahn和J.Hilliard在研究热力学中两相物质之间相互扩散现象时就提出了此类方程.我们先以这类扩散现象为例，简单说明一下Cahn-Hilliard型方程的物理背景.两种易混合的物质(如合金，聚合物等)从高温迅速冷却到低温(淬火)时，相分离现象就会发生.这时，混合物质将有一个唯一的一致平衡的相态.而在两相(或者更多相)可以共同存在的可混合性间隙里，混合物质会出现亚稳定线分解、晶核形成、晶粒长大粗化等现象.这些现象的发生与不同的相之间的分离趋势有关.而且，随着时间的变化将会出现越来越大的几乎由单一的相均匀分布的区域.合金的相分离程度会影响材料的性质，因而这个问题在合金制造业中有着十分重要的实际意义.表征不同相之间差别的物理量，例如A-B合金中A和B物质的浓度u，随时间变化的数学模型通常由Cahn-Hilliard型的四阶非线性扩散方程给出. 我们还以相变过程为例，就一些简单情形说明Cahn-Hilliard型方程的得到.混合物质的Ginzburg-Landau自由能F是u的泛函F(u)=其中γ(u)，H(u)是已知函数.相应的势函数为μ=δF(u)/δy=-div(γ(u)▽u)+1()γ/2()u|▽u|2+()H/()u. 通常假设浓度的流量J的大小与势函数的空间梯度的大小成正比，而方向相反，即J=-m(u)▽δF(u)/δu. 由质量守恒定律，()u/()t=-divJ. 于是()u/()t=div{m(u)▽[-div(γ(u)▽u)+1()γ/2()u|▽u_2+()H/()u]}. 特别地，当γ(u)为常数，比如γ(u)=1时，方程化为()u/()t+div[m(u)(▽△u+▽A(u))]=0. 此方程就是与浓度相关的Cahn-Hilliard方程，其中u是两相物质之一的浓度，m(u)是迁移率，A(u)=-H(u)表示内在的化学能，A(u)的一个合理的选择是三次多项式的形式，即A(u)=γ1u3+γ2u2+γ3u+γ4，γ1＜0，而H(u)称为双井位势. 如果在方程(1)中，假定迁移率m(u)为常数，不妨设为m(u)=1，则方程化为常迁移率的Cahn-Hilliard方程()u/()t+div[▽△u+▽A(u)]=0. 对于径向对称解u，我们指的是u(r，t)=u(|x|，t)，r=|x|，并且满足()/()t(rn-1u)+()/()r{rn-1()/()r[V+A(u)]}=0,其中rn-1V=()/()r(rn-1()u/()r).相应的自由能是F(u)=C∫rn-1[1/2|()u/()r|2+H(u)]dr,其中C是只依赖于空间维数n的常数，在本文中我们取特殊形式的双井位势H(u)=1/8(1-u2)2.正如大家所知，方程的稳态解使得自由能F为最小.也就是，径向对称稳态解满足u″+n-1/ru′=1/2u(u2-1).(3) 另外，方程(1.3)的解也可以看作是另一个相变模型Allen-Cahn方程()u/()t-△u-A(u)=0的径向稳态解. Cahn-Hilliard型方程的理论研究始于八十年代中期C.M.Elliott和S.M.Zheng的工作[10].他们考虑具常迁移率的Cahn-Hilliard方程的初边值问题，使用整体能量型估计，对A(u)的典型情形即前面提到的三次多项式，证明当空间维数N≤3时，当三次项系数为正常数或三次项系数为负常数但初始能量小时古典解的存在性，唯一性及三次项系数为负常数但初始能量大时古典解的Blow-up现象. 由于吸引子的存在性在某种意义上反映了解的稳定性，所以关于Cahn-Hilliard方程吸引子的研究工作也很多.Dlotko，T.[11]在空间区域Ω(∪)Rn，n≤3中考虑方程ut=-ε2△2u+△f(u)，其中f是最高次项系数为正的多项式，方程约束于无边界流条件.作者证明了由方程产生的半流的两个整体吸引子A(∪)L2(Ω)和B(∪)H2(Ω)互相重合.并且，考虑受限制于约束Hα={u∈L2(Ω)：|Ω|-1∫Ωudx=α}的半流，那么对于充分大的|α|整体吸引子Hα只包含一个点，也就是说函数是常值函数α.后来，Li，Desheng和Li,Qinyi[12]考虑方程ut=-λ△2u+△f(u)(f(u)=∑ajuj，a2p-1＞0)的初边值问题，证明了这个问题在空间H1-H3中存在一个整体吸引子Af(α)，并且Af(α)在H2空间中Hausdorff半模意义下关于f系数的扰动是稳定的. 近年来，关于Cahn-Hilliard方程径向解的研究吸引了很多学者的注意.Yin，Jingxue和Liu，Changchun[13]研究了具退化迁移率的二维Cahn-Hilliard方程的径向对称解，他们利用抛物正则化的方法，通过建立逼近解的一致估计，证明了弱解的存在性和非负性.他们还得到了弱解的有限传播性质.后来，Voigt，A和Hoffman，K.H.[14]在具有充分光滑边界的有界球对称区域Ω(∪)Rn，n≤3中研究了比方程(1.2)更一般些的方程的初边值问题.他们证明了这个问题解的整体存在性和正则性，并且考虑了解的渐近行为，对于球对称区域证明了非平凡稳定解的存在性，对称性和单调性. 当空间区域是全空间时，关于Cahn-Hilliard方程的稳定性结果并不多.Bricmont，J.，Kupiainen，A.，和Taskinen，J.[2]考虑一维情形Cahn-Hilliard方程的Cauchy问题.作者利用归纳重正规化群方法研究t→∞时解的渐近性态，并利用这种方法得到了上面问题有唯一的一个光滑解u(x，t)，而且u(x，t)在加权1.00模意义下以u0(x)为渐近稳定的.后来，Carlen，E.A，Carvalho，M.C.和Orlandi，E.[1]研究了相同的问题，并且得到了这个问题的一个相当简单的证明方法.他们通过方程引进算子A，对算子A的谱得到必要的先验估计，进而证明了解的稳定性，而且给出了自由能和解的相对精确的衰退率. 近年来，关于Cahn-Hilliard方程的稳态解也有一些结果.Novick，C.A.和Peletier，L.A.[15]考虑一维Cahn-Hilliard方程的稳态解，这种稳态解是区间长度L和平均质量m的函数.他们研究了非平凡单调递增稳态解的个数，如果m存在于亚稳界线区域，那么对几乎处处L∈(0，π/2√1-3m2)有偶数个满足条件的解，对几乎处处L∈(π/2√1-3m2，∞)有奇数个满足条件的解.如果m存在于亚稳定区域，那么对几乎处处L＞0，有偶数个这样的解.后来Laugesen，R.S.和Pugh，M.C.[16]研究了方程ht=-(f(h)hxxx)x-(g(u)hx)x-ah的光滑稳态解的线性稳定性. 我们有理由相信，在某些假定条件下(3)具有渐近线的解就是Cahn-Hilliard方程解的渐近极限.事实上，一维情形下的Cahn-Hilliard方程的渐进行为已经在[1]，[2]中研究过了，而且Cahn-Hilliard方程解的渐近极限正是方程(3)具有渐近线的解. 本文主要研究方程(3)的初值问题u(0)=α，u(0)=β(4) 和两点边值问题u(0)=α，u(+∞)=1或0，(5)其中-1≤α≤1.由于当n≥2时，方程(3)在左端点r=0处退化，所以解也可能在这点有齐性.因此，应该首先给解一个合理的定义.对于初值问题，我们可以在空间C2((0，+∞))∩C1([0，+∞))中定义解，而对于两点边值问题，我们希望在空间C2((0，+∞))∩C([0，+∞))中得到解.而且，考虑到实际的物理背景，我们只考虑所谓的物理解，也就是满足条件-1≤u≤1的解. 本文的结构如下.在§2中，研究初值问题(3)，(4).由于方程在左端点处退化，所以我们首先考虑逼近问题，而且对逼近问题在解的每个单调区间上建立了比较原理.进而在不同条件下得到了平凡解，周期解，渐近解.在§3中讨论边值问题(3)，(5).利用初值问题的结论，我们得到了边值问题的一系列结果.