本文首先讨论了带临界指数的半线性椭圆方程{-△u=g(χ)|u|2*-2u+λf(χ),χ∈Ω,u=0，χ∈(e)Ω，(P1)多重正解的存在性，其中Ω(C)(R)N(N≥3)是具有光滑边界的有界开区域，λ是一个正实参数，2*=2N/N-2是临界指数.　　 首先，我们对函数f和g做如下的假设:(f)f在(Ω)上是连续函数，f≥0且f≠0;(g1)g在(Ω)上是连续函数，g＞0;（g2）在Ω上存在k个点a1，a2，…，ak满足K={a1,a2，…，ak}={χ∈(Ω)|g(χ)=1},maxx∈(Ω)g(χ)=1,且对某ρ＞N，当χ→a，使得:g(a)-g(χ)=(O)(|χ-a|(ρ))且关于a∈K一致成立.　　 我们主要利用了变分法，分析技巧和Nehari流形技巧，得到如下结果.定理1.假设λ∈(0，Λ)，函数f在(Ω)上是连续的，f≥0且f≠0，g在(Ω)上是连续的，且g＞0，则方程(P1)至少有一个正解.　　 如果3≤N≤6，我们可以得到比定理1更好的结果.我们有如下的结果.定理2.假设3≤N6，函数f和g满足(f)-（g2）条件，则存在一个Λ*＞0，使得对于任意的λ∈(0，Λ*)，方程(P1）至少有k+1个正解.　　 接下来，我们研究了一类带临界指数的半线性椭圆方程{-△u=λf(χ)|u|q-2u+g(χ)|u|2*-2u,χ∈Ω,u=0,χ∈(e)Ω，(P2)多重变号解的存在性，其中Ω(C)(R)N是具有光滑边界的有界开区域，λ是一个正实参数，N＞6，N/N-2＜q＜2,2*=2N/N-2是临界指数.定理3.设f和g满足(f)-（g2）条件，N/N-2＜q＜2和N＞6，则存在一个正数Λ*∈(0，Λ)，使得对所有的λ∈(0,Λ*)，方程(P2)至少有k个变号解.