谱方法是微分方程数值求解的重要方法之一。Fourier谱方法的思想源于19世纪，但各类谱方法真正成为一门理论体系完整的计算数学分支则是近三十多年的事。谱方法的优点在于它的高精度，即微分方程的真解越光滑，其数值解也就越精确。正因为如此，谱方法已经成功地应用到科学、技术、经济中许多问题的数值计算。例如热传导，流体动力学，量子力学，金融数学等领域有关问题的数值模拟。 本文研究非一致Jacobi加权Sobolev空间中的二阶Jacobi逼近和Jacobi-Gauss型插值逼近及其对四阶微分方程定解问题的应用。 在第二章，我们研究非一致Jacobi加权Sobolev空间中的二阶Jacobi逼近。我们引入了一些必需的非一致Jacobi加权Sobolev空间，定义了从这些空间到多项式空间的各种正交投影，并建立了相应的逼近理论。这些理论是四阶微分方程Jacobi谱方法的数学基础。我们以几个模型问题为例，设计了其谱格式，并证明了它们的收敛性。数值结果证实了理论分析的结论和这些算法的有效性。 在第三章，我们研究四阶问题的Jacobi拟谱方法。我们建立了非一致Jacobi加权Sobolev空间中的Jacobi-Gauss型插值的逼近理论。这些理论对于数值积分公式和微分、积分方程的数值方法都是非常重要的工具。然后我们以四阶奇异问题、二维问题和非线性问题为例，构造了各种拟谱格式，并证明了它们的收敛性。数值结果证实了理论分析的结论和这些算法的有效性。 文中所涉及的方法和证明技巧也同样适用于其它四阶微分方程的数值解。