小波分析(Wavelet Analysis)是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，是继Fourier分析之后的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。作为80年代末期出现的时频分析工具，小波变换在很多领域己经得到了成功的应用。随着小波分析的发展，小波的应用越来越广泛，愈来愈凸显出其“数学显微镜”的作用，尤其是在偏微分方程数值解里的应用最近得到人们很大的关注。 本文首先介绍了小波分析的发展及其理论中的经典问题多尺度分析和Mallat算法，其中包括了小波的定义，几类小波变换。此外，还介绍了二维小波变换的一些相关理论、紧支集小波、Daubechies小波，为后面使用它奠定了理论基础。 其次总结了微分算子的小波表示的相关结论，通过对偏微分方程中的微分算子进行小波表示来对其进行数值求解。本文给出了一种比较好的算子的小波表示——算子的非标准型，并对微分方程中常见算子给出了小波系下的矩阵表示，然后考虑小波系下稀疏方程的求解。在此基础上研究了热传导方程的小波解，对相关算法给出了误差分析，得到了数值实验结果，表明小波基在偏微分方程数值求解中的应用是非常有效的。 最后在Galerkin方法基础上，提出了一种区间小波的Galerkin方法，利用小波多分辨分析的特性，给出了小波有限元逐层校正算法成立的条件，并提出了条件不满足时的全局修正算法，对两点边值问题的计算验证了结论的正确性。