算术函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的位置,许多著名的数论难题都与之密切相关.因而在这一领域取得任何实质性的进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用!但是大部分数论函数,我们都很难给出其精确的计算公式,只能通过渐近公式来反映其变化规律及其性质。著名的美籍罗马尼亚数学家F.Smarandache所做出的许多贡献中的其中一项就是他一生中引入了许多十分有趣的数列和数论函数,并提出了一系列出色的问题和猜想。他发表的《Only Problems,Not Solutions》一书中提出了105个关于数论函数和序列的尚未解决的问题和猜想,引起了诸多数论爱好者的研究兴趣,很多学者都在研究这些问题和猜想,并且有些已经得到了一些十分重要的结果。本论文基于对Smarandache问题的兴趣,应用初等数论,解析数论等知识对一些数论函数的均值估计问题进行了探讨,得到了一些结果,并引入了新的数论函数,具体说来,本文的主要成果包括以下几方面:1.研究了Smarandache LCM函数SL（n）的均值估计问题和它的一些性质,并给出了这个函数一个较好的渐近公式。2.研究了M次根的整数部分和不超过N的最大M次幂的函数a_m（n）和b_m（n）的一些重要性质。利用初等方法研究了两个包含a_m（n）和b_m（n）的Dirichlet级数的收敛性,并给出一些有趣的恒等式。3.Smarandache对偶函数S^*（n）为最大的正整数m使得m!|n,现在我们定义了一种新的双阶乘函数S^**（n）,这里利用初等方法研究了一个包含S^**（n）的无穷级数的收敛性,并给出一个有趣的恒等式。