为了研究图的结构和性质,人们引进了各种各样的矩阵.最主要的有邻接矩阵,拉普拉斯矩阵以及拟(无符号)拉普拉斯矩阵.对于邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值,人们已经进行了大量的研究,得出了很多较为成熟的理论成果和应用成果.直到最近十几年,研究者才发现图的拟拉普拉斯矩阵与图的结构联系更为紧密,通过图的拟拉普拉斯矩阵来研究图的性质更为方便.　　图的拟拉普拉斯矩阵又称图的Q-矩阵，其特征值称为图的Q-特征值.对于一个连通图而言,最小Q-特征值为零的充要条件是这个图为偶图.最小Q-特征值常被用来衡量一个图的非偶性程度,因而吸引了众多学者的关注,已成为近期图谱理论研究中的一个热点问题.　　对一个非偶连通图类,确定其最小Q-特征值达到最小的图,这是近期研究的比较多的一个问题.人们先后对许多非偶连通图类,确定其最小Q-特征值达到最小的图.本文进一步研究这个问题,主要内容如下：　　第一章主要介绍图的最小Q-特征值研究的背景和主要进展,概述本文得到的主要结果.　　第二章介绍结果证明过程中用到的一些记号、概念及引理,并证明一些新的引理.　　第三章研究图中存在长路的最小Q-特征值条件.首先,对于不含路Pt的非偶单圈图,确定了最小Q-特征值达到最小的图;其次,对于不含路Pt的非偶连通图,确定了最小Q-特征值达到最小的图.　　第四章研究给定悬挂点数的非偶单圈图的最小Q-特征值,刻画了悬挂点数给定的非偶单圈图中最小Q-特征值达到第二小的图.对于悬挂点数给定的非偶单圈图中最小Q-特征值达到第三小和第四小的图,给出一些定理和猜想.