如何数值求解曲面上的偏微分方程是一类十分有趣的问题。这类问题在地球物理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。生物膜的流体动力学模拟也属于此类问题的范畴。目前发展得较为成熟的求解这类问题的方法是有限差分和有限元方法。这些方法的优点是可以处理任意拓扑形状的曲面,但共同的缺点是对曲面上的网格剖分依赖性较强,且难以达到高的空间精度。但是,描述生物膜运动的流体动力学方程中经常涉及高阶空间导数,从而要求数值方法有高的空间精度。这使得对求解曲面上偏微分方程的高精度谱方法的研究变得十分必要。　　 作者给出的数值算法仅限于求解亏格为零的曲面上的偏微分方程。在这类曲面上,对椭圆方程、线性扩散方程和流体动力学方程这三类方程给出了空间上具有谱精度的数值方法。求解这三类方程的算法均基于以下事实:由于任一亏格为零的曲面和单位球面之间存在微分同胚,而单位球面的笛卡尔坐标为球坐标到R3的映射,参数曲面可以定义为这两个映射的复合映射,参数空间为单位球面。这实现了对曲面的整体参数化。进而,曲面上的方程可看成单位球面上的方程,并用基于球调和基函数的谱方法进行空间离散。这一方法的优势在于实现较为简单,且空间上具有谱精度。为方便求导,实际操作中对未知量进行球调和级数展开后,将球调和级数转化成与其等价的Fourier级数,再进行求导计算。　　 对椭圆方程用Galerkin方法离散。离散后,用共轭梯度法求解相应的系数矩阵为稠密阵的线性方程组Ax=b,并用与曲面有相同表面积的球面上的Beltrami-Laplace算子作为预优算子,数值上达到了较好的效果。作者从理论上证明了该数值算法具有谱精度,并从数值结果上验证了这一点。对于线性扩散方程,时间离散采用二阶精度的Crank-Nicolson格式。该数值算法每一步需求解一个椭圆方程,采用前面给出的求解椭圆方程的方法。对于求解曲面上的Navier-Stokes方程,作者将求解欧式空间中Navier-Stokes方程的二阶投影格式推广到曲面上。每一时间步需要求解两个椭圆方程,仍采用前面给出的求解椭圆方程的算法。作者从数值上验证了这一方法对于速度和压强在时间上均为二阶精度,空间上为谱精度。作者还求解了与曲面上流体方程组耦合的对流扩散方程,并研究了相关现象。