称一个n阶半正定、元素非负的矩阵为双非负矩阵,并记所有n阶双非负矩阵构成的集合为DNN_n。对于A∈R~(n×n),若有非负矩阵B∈R~(n×m)满足A=BB~T(T表示转置),则称A为完全正的。记所有n阶完全正矩阵构成的集合为CP_n,所有使得A=BB~T成立的B的最小列数称为A的分解指数(或A的cp-秩)记作φ(A).一个图G称为完全正图,简记为CP图,如果每个以G为伴随图的双非负矩阵均为完全正。G的一个双非负实现定义为伴随图是G的一个双非负矩阵。类似定义G的非负、(半)正定、完全正实现。早在1963年,M.Hall和M.Newman就证明了:当n≤4时,CP_n=DNN_n。随后Minc和Maxfield利用解矩阵方程X~TX=A的方法再次证明了这一结论,他们还给出阶数大于等于5的双非负矩阵不是完全正矩阵的例了。从而说明了n≥5时CP_n为DNN_n的真子集。1980年,Gray和Wilson利用几何方法给出了这一结论的另一证明。特殊类完全正矩阵研究始于1987年。1988年,M.kaykobad利用图论方法证明了对角占优情况下的双非负矩阵为完全正的。