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σ-LFSR是一种基于字的线性反馈移位寄存器，其产生的序列兼顾安全、实现效率和资源消耗。在密码编码学中，寻找具有较大周期的伪随机序列是一个基本的研究课题，而本原σ-LFSR序列就是理论上序列周期所能达到的最大的序列。为了得到本原σ-LFSR序列，其特征多项式的本原性的判别就成为了目前所迫切需要解决的关键问题。 本文主要研究σ-多项式及其性质，这是韩文报的研究工作的继续。韩文报得到了“σ-LFSR序列本原等价于其特征多项式的行列式本原”的结论，但是没有给出σ-多项式的行列式求法。在本文中，我们首先给出系数在有限域Fqm上的多项式的行列式的一种简易求法；然后，通过将σ-多项式在一组基下转化为多项式矩阵，得出本原多项式的多项式矩阵的smith标准型形式的唯一性结论，并且针对一类特殊的σ-多项式，给出其转化为对应多项式矩阵的快速算法，由此给出此类本原σ-多项式的一种筛选方法；最后,基于韩文报的另一项研究工作，我们通过研究σ-LFSR序列与其分位序列的关系，得到本原σ-多项式的行列式即为其分位序列的极小多项式的结论。