上个世纪，研究物质的凝聚态是物理学的主流之一。在对物质性质的研究过程中，长时间的有序性和对称性等条件往往是强有力的工具，使得问题可以得到简化，比如规则的晶体，理想气体。此外，对材料的磁性研究，如铁磁性，顺磁性，反铁磁性等，也一直是受到关注。随着科学家研究的深入，在上个世纪七十年代，科学家尝试理解磁性合金材料（如铜掺锰合金）的磁化现象的过程中提出了自旋玻璃系统。希望用这套理论去研究一些无序磁性材料的性质。自旋玻璃系统正是一种磁矩方向分布具有长程无序性的磁性系统。在铁磁性材料中，粒子磁矩方向，当温度降低到相变温度时，呈现规则性排列，使得材料恢复铁磁性。而对于自旋玻璃材料，当温度降低到一定程度（冻结温度）时，系统就会呈现出一种无序性。相对于铁磁性材料在相变温度下，保持着一种状态，使得系统能量最低;自旋玻璃材料在冻结温度下，系统可能存在多种状态使得能量最低，称为亚稳态。自旋玻璃系统中粒子磁矩的非一致性，使得它不同于铁磁性材料（与非铁磁材料），并且使得它呈现出自己特有的一些性质，如淬火无序性，阻挫现象，遍历性破缺等（见第二章)。而这些性质也使得它成为了研究复杂性系统的典型模型。复杂性往往源于问题的答案不唯一（这也是复杂性的一个主要特征），比如在许多组合优化问题中，可能存在许多组近似最优解。亚稳态的存在就类似于这一情形。所以对于自旋玻璃系统的研究，很多时候可以揭示一些复杂性系统的特征，性质等。近些年来，科学家也逐渐关注短程自旋玻璃系统的行为。此外，值得注意的是，经典的Birkhoff遍历性定理蕴含着在相位空间各基态等概率分布，作为它的一个重要推论是热动力学极限的存在性。然而在自旋玻璃系统中，遍历性破缺阻碍了热动力极限的存在。以上这些性质，都使得自旋玻璃系统的研究更加困难，但同时也更加有趣。　　自旋玻璃系统的早期的模型是S.F.Edwards和P.W.Anderson于1974年提出的EA模型。作为现代自旋玻璃理论的开端，EA模型告诉我们自旋玻璃的物理本质不在于微观态相互作用的细节，而是淬火无序过程中的顺磁与抗磁的竞争。自旋玻璃的典型的例子是D.Sherrington和S.Kirkpatrick模型（SK模型）。SK模型是一个完全连通的网络模型。在SK模型上人们发展了很多概念和技巧。这些模型我们在第二章都会做一些回顾。构建众多自旋玻璃模型的同时，物理学家也建立相应的平均场理论（复本对称破缺理论，复本空腔理论等)去理解它们。　　自旋玻璃，除了对于无序磁性材料的研究以外，也已经广泛应用于组合优化，神经网络，计算复杂度，蛋白质结构预测等许多种领域。比如自旋玻璃中复本方法可以用来给出组合优化问题的一些新算法。本文将着重于自旋玻璃在信息理论方面的应用。信息理论是由C.E.Shannon所建立。值得一提的是Shannon引入熵去理解信息的传递，现在，熵已经成为统计物理学的核心概念。这已经蕴涵着统计物理学与信息学之间存在着联系。信息理论同样有着极其广泛的应用，诸如编码，解码，神经生物学，统计推理，语言学等等。这里我们的兴趣着眼于自旋玻璃在信息的传递中的应用。　　在信息传递中，大家比较关心的是信息是怎么传递以及如何计算信息的传递。一九八二年，J.Pearl在树模型上提出了置信传播算法，然后该算法又被推广到有向树上。虽然对于一般的图模型而言，这种算法不是精确的算法，但它依然是一个非常有用的近似方法。早期研究的图模型，大多会对变量节点的取值有一些要求，比如最简单的情形会要求自旋的取值是+1或者-1，这时它对应于伊辛模型。后来M.Chertkov和V.Y.Chernyak.又将自旋的取值推广到有三种可能取值的情形，甚至是多个整数取值的情形。此外他们还引入了莫比乌斯算法，考虑了一些特殊的模型，得到了一些非常漂亮的结果。这时我们就提出了一个自然的问题，既然这种算法能在很多物理模型上都能有效的计算出一些物理量，那么我们能不能从纯数学的角度，对其进行严格的推广。这里纯数学的角度是指不再对系统的自旋有任何的假设和要求。我们希望这种算法可以适用于其他已知的，甚至未知的物理模型。　　本文大致分为三个部分。第一部分我们对研究自旋玻璃模型的背景知识作了简要的介绍。具体来说，第一章我们回顾了统计力学的一些基本概念。特别的，在研究自旋玻璃模型的过程中，我们要对伊辛模型有一些了解，因为自旋玻璃正是对伊辛模型的一种推广。此外，作为主要工具，因子图与平均场理论都是不可或缺的。它们使得对相变问题的表述更加清晰与简化。　　从第二章我们开始详细的介绍自旋玻璃模型的基本性质与一些例子。后文所考虑的方法都可以运用到这些例子中。除此之外，我们也对理解自旋玻璃模型的基本方法做了一些介绍。目前的主要方法是复本思想与空腔理论。同时把置信传播方法结合因子图一起使用也是一种常用方法。　　第二部分则是对一般统计图模型的圈图展开进行的研究。从第三章开始，此处的图模型是变量定义在边上的图模型，这类图模型上的变量赋予了一个任意的先验概率分布，这样做不仅从物理的角度可以解决更多的问题，更从数学上让整个理论更加完整。通过一系列的推导，我们发现整个系统的配分函数可以写成一个大的树图的配分函数的部分以及其他各种子图的修正贡献部分。其中大的树图部分和我们最先开始的空腔方法计算出来的配分函数在形式上是一样的。然后我们通过对自洽方程不动点的研究发现，如果不动点刚好取传统意义上的置信传播方程，可以使得那些带悬挂边的子图对配分函数的贡献为零。在实际计算的过程中，利用这一想法可以大大的节省计算时间。为了让读者更好的理解，在第四章结尾我们给出了三个具体的例子。前两个例子分别计算出了与每个节点的直接相邻的粒子数分别是二和三的情形，并对其子图的修正贡献进行了分析。第三个例子则是对变量定义在点上的SK模型做了计算，并推导出了BP方程。　　随后在第四章，我们考虑了更加复杂的图模型——区域图的配分函数的圈图展开。由于区域图中的直接相连的区域有着父亲和儿子的关系，所以这时我们的图从原来的无向图变成了有向图。目前我们的大部分结论还只限于没有冗余的区域图上。在第四章的末尾，我们给出了二维晶格模型的相变温度的一个算法。　　第三部分主要为第二部分所发展的理论的应用。在第五章，我们将推广的置信传播方程用于理解K-SAT问题。通过一些具体的推导，可以发现推广的置信传播方程可用于更加一般的模型。