非线性不可压模型在实际工程问题中普遍存在,比如,当考虑的不可压弹性材料具有大形变时,线性不可压弹性模型便不能刻划该弹性材料所处的状态,因此必须考虑非线性不可压弹性模型.再比如,我们熟知的Navier-Stokes问题,就是典型的非线性不可压模型.进一步,当考虑既具有粘性又具有弹性的复杂流体时,需要使用的则是粘弹性流体模型,这是一个更为复杂的非线性不可压模型.对这些模型的研究发现,相比于Stokes问题和Oseen问题等线性不可压问题,不可压条件扮演着更为重要的角色。对非线性不可压模型的数值模拟也发现了同样的现象.众所周知,许多有限元格式对于小形变弹性问题的求解,无论是在稳定性方面还是在精度方面都有不错的表现,其中也包括不可压的情形.但是,当把这些格式推广到大形变弹性问题时,由于非线性的引入,其稳定性便得不到保证.通常的混合有限元格式不能保持稳定性的重要原因是离散问题的解只是弱不可压的,而且无法克服由于只是弱不可压所带来的困难.也就是说不可压条件在离散层面没有得到精确的保持给稳定性带来了困难.同样的问题在粘弹性流体模型的数值模拟中也存在,当离散的速度场不能精确保持不可压条件时,通常不能得到数值格式的能量稳定估计.对于Navier-Stokes方程,由于其为非线性的,已有研究工作证明采用局部间断有限元方法去求解时,能量稳定估计和局部守恒不可能同时得到,除非离散的速度场是精确不可压的.总而言之,不可压条件在设计非线性问题的数值格式时扮演着重要角色.　　本文主要研究了两类非线性不可压模型,即非线性不可压弹性模型和粘弹性流体模型的稳定数值方法.　　对于非线性不可压弹性模型,通过在经典的混合有限元格式中添加一个包含散度因素的稳定项,本文提出了一个抽象的稳定框架,导出了一种修正的混合有限元格式,采用Helmholtz分解证明了这种修正的混合有限元格式能够保持连续问题的稳定性,进一步,注意到连续情况下修正的混合有限元形式和经典的混合有限元形式是等价的,本文运用经典的混合有限元理论证明了这个修正的混合有限元格式具有最优收敛性,然后将这个修正的混合有限元格式应用到了非线性弹性问题。克服了经典混合有限元格式导致的不稳定性,并展示了符合理论结果的数值例子.　　对于粘弹性流体模型,与非线性不可压弹性模型所不同的是,首先它通常是时间依赖模型,同时它还有一个众所周知的困难就是所谓的高Weissenberg数问题,也就是当Weissenberg数达到一定的数值时,数值方法就失去了收敛性.许多研究表明这个问题与离散层面不能保持结构张量的正定性有着深刻的联系,同时。结构张量的正定性在研究粘弹性流体连续系统的适定性方面也有重要的作用,这些都确切地表明在设计数值方法时,同时保持结构张量的正定性和速度场的不可压条件是十分必要的.基于这样的考虑,本文对于粘弹性流体模型在时间方向上基于李导数采用Euler-Lagrange离散,这时需要求解一个关于流映射的常微分方程,在求解这个常微分方程时,为了得到保体积的格式,除了采用合适的隐式格式外,更需要保持速度场的精确不可压条件,同时对本构方程的空间离散采用分片一次多项式或者分片常数多项式以保持结构张量的正定性,综合起来,既要保持速度场的精确不可压条件,又要与本构方程的空间离散相匹配,于是对动量方程在空间上采用基于低次散度协调元的间断有限元离散.本文利用间断有限元空间的离散Kom不等式,离散速度场的不可压性以及离散结构张量的正定性证明了论文中对于粘弹性流体模型的Euler-Lagrange间断有限元方法是离散能量稳定的,并且这个稳定性估计对于无穷大的Weissenberg数也是成立的.更重要的是,尽管一般的粘弹性流体模型连续问题的全局解的存在唯一性到目前为止依然不甚清楚,但是本文采用间断有限元空间的逆估计等性质和不动点迭代方法证明了论文中所设计的稳定数值方法对应的离散问题的全局解是存在唯一性的.