自从2004年Geim和Novoselov等人利用微机械剥离的方法成功制备原子厚度碳薄层以来，碳单层迅速成为凝聚态物理以及材料物理等学科的新星。碳单层具有简单的晶格结构，丰富的物理性质，对未来的半导体工业有着潜在的应用价值。不同于常规半导体材料中的Schr(o)dinger电子，碳单层中的载流子被称为Dirac Fermi子，遵循相对论性的Dirac方程。这为广大研究者们开拓了一个新的领域。近几年来，除了碳单层以外，人们也逐渐探索其它具有相对论性DiracFermi子的系统，导致许多新的二维材料不断涌现。无论是在晶格结构还是能带结构上，这些新的材料都存在着明显的差异。许多不同于碳单层的新奇的物理性质使得这些低维材料也为未来自旋-谷电子学、能带拓扑学、光电子学等领域开拓了广阔的应用前景。　　在本论文中，我们主要研究多种二维系统在外场调控下Dirac Fermi子所展现出的有趣的能谱和输运性质。研究的主要问题包括碳单层中Dirac电子在准周期超晶格中的自相似行为，Lieb晶格中赝自旋为1的Dirac Fermi子在周期势垒下的透射和能谱，扭转的碳双层中Dirac电子在正常导体／超导体结界面所表现出的特殊Andreev反射，以及硅单层中Dirac电子在垂直电场和非共振光场共同作用下的反常热磁效应。论文的具体安排如下:　　在第一章中，我们简要介绍了碳单层以及一些衍生材料包括Lieb晶格、扭转的碳双层、硅单层等的晶格和能带结构，以及Dirac Fermi子所具有的一些特殊的拓扑和输运性质，然后给出了本论文中所用到的主要理论方法。　　在第二章中，我们研究了碳单层中的Dirac电子在Thue-Morse准周期势下新奇的电子行为。我们发现，不同于常规的Schr(o)dinger电子，在碳单层中Dirac电子透射谱中的一些准周期特性，例如自相似和三分叉行为，仅仅显示在斜入射的情况;在常规的Dirac点附近出现了额外的Dirac点，它们的位置仅仅和第二代的Thue-Morse序列有关，并且数目是周期超晶格的两倍;Thue-Morse准周期结构中的波函数在Dirac点位置处发生从临界态到扩展态的转变;电子在额外的Dirac点处会完全透射，这样的超准直效应可以用来探测Dirac点的数目和位置。　　在第三章中，我们研究了赝自旋为1的Dirac Fermi子在Lieb光学超晶格中的输运行为。研究表明，不同于碳单层超晶格中零平均波数带隙，在Lieb超晶格中存在一个零平均波数的通带，其位置为势垒台阶一半。通过改变Lieb晶格中子格的在位能，通带会转变成为一个全带隙，因此，全方向的透射转变成全方向的反射，粒子传导状态从开态变到关态。这些结果可以为一些光学或电学器件提供理论依据。　　在第四章中，我们利用Dirac-Bogoliubov-de Gennes方程和Blonder-Tinkham-Klapwijk理论研究了扭转的碳双层中正常导体／超导体结的Andreev反射。在扭转的碳双层中，其能带结构有一个从线性到抛物型的转变过程，这与系统的Berry相位息息相关。我们发现在低能的线性区，镜面的Andreev反射有一个明显的增强，微分电导为碳单层的两倍，展现了碳单层的手征性行为。而在高能区，旋量为2πBerry相的波函数导致电导完全被抑制。不同手征性的转变点正好对应于系统的van Hove奇点的位置。从这些结果可以看出，扭转的碳双层具有非常灵活且可控的输运性质。　　在第五章中，我们研究了硅单层中Dirac Fermi子在非共振光和垂直电场共同调控下的反常Nernst效应。我们提出，通过测量反常的Nernst电导，硅单层中丰富的拓扑相在室温下也可以被表征出来，而相边界可以通过对电荷和自旋Nemst电导求微分来确定。通过调节外加电场或者光场，还可以获得完全自旋极化、谷极化，甚至单谷-单自旋极化的Nernst电流。类似的研究也可以拓展到锗单层以及锡单层中去，最后我们还对于这几种材料的反常热磁品质因子做了比较。　　在最后一章中，我们对已取得的研究成果做一个总结，并对未来进一步的研究工作进行展望。