传统有限元多采用常应变三节点三角形单元和等参四边形单元，采用不规则多边形单元，可以更加方便的模拟材料力学性能，又使得区域网格划分更加灵活。对于几何形状复杂的结构，多边形单元网格具有更大的优势。传统的位移有限元法采用多项式形式的位移试函数，对于边数大于4的多边形单元，构造满足单元间协调性要求的多项式形式位移插值函数是一件困难的工作。与经典有限元法形函数为多项式形式不同，多边形单元的形函数为有理函数或者无理函数形式。多边形单元插值形函数满足线性完备性，可以再现线性位移场，像经典有限元法一样直接施加本质边界条件；插值函数在多边形的边界上是线性的，确保不同单元间的自动协调。不同单元的插值形函数表达公式形式统一，方便混合单元网格计算的程序编写。本文综合考虑增量弹塑性分析的特点，将其引入到Laplace多边形单元法中，建立了弹塑性分析的位移多边形单元法。由于弹塑性分析的影响因素众多，本文同时讨论了结构弹塑性响应对区域形状的灵敏度。在此基础上，本文采用多边形单元法预测非均质材料的弹塑性性能，通过构造新的土体应力应变单元和孔压单元分析了考虑土体弹粘塑性固结的地基沉降和孔压历程。 本文以建立弹塑性分析的多边形有限元法为主线，内容简介如下： 一、阐述了多边形单元法和弹塑性数值分析方法的研究概况及各种方法的优缺点，基于Laplace插值思想构造的有理函数插值，在形成多边形位移函数时不需要做等参变换，从工程适用角度有利于位移多边形有限元法得到推广，拓展Laplace多边形有限元法的应用范围势在必行。 二、基于增量虚位移原理列出弹塑性有限元格式，通过变量代换建立计算弹塑性矩阵的统一数值格式，给出了Von-Mises、Tresca、Drucker-Prager、Mohr-Coulumb四种屈服条件下的应力调整方案。在此基础上，运用半解析法分析了结构弹塑性响应对于区域形状变量的灵敏度。 三、结合弹塑性增量计算和有理函数插值的特点，研究了利用Laplace多边形有限元法解决二维弹塑性问题的算法。为了将其应用拓展到土体等弹塑性材料，分别采用Von-Mises和Drucker-Prager屈服准则作为调整积分点应力向量的依据，应用于厚壁圆筒和简支梁算例，拓宽了Laplace多边形有限元法的适用范围。 四、在非均质材料的有限元数值模拟中，采用有理函数插值构造基于voronoi单元的位移函数，克服了在多边形单元上难以适用多项式插值函数的缺陷，推导了基于voronoi单元的二维弹塑性分析的相关模型，研究了非均质微观夹杂对整体力学性能的影响。数值算例验证了该方法的正确与可行性，能够正确预测到非均质材料的平均弹性模量和塑性模量，求解精度较高。 五、数值分析方法在岩土工程领域的应用趋于广泛，Biot固结理论的发展使得有限元方法可以求解土体渗流固结耦合问题，对土体进行弹粘塑性固结分析可以全面反映土的弹性、塑性和粘滞性，而这时计算量往往也是巨大的。考虑土工问题的计算效率，寻求稳定简便的数值方法是岩土工程研究领域的热点问题。结合Laplace多边形有限元法形函数的统一性，编写程序简便，将其应用于构造土体应力应变单元和孔隙水压单元，采用Bingham粘塑性应变率模型和Moth-Coulumb屈服准则分析了多土层地基的地表沉降趋势和孔压时程。