反应扩散方程或方程组常用于物理、化学、生态等学科中一些实际问题的数学建模,其各类解的存在性及其动力学性态一直是偏微分方程理论研究及应用中的重要课题.本文主要研究了一类来自河流生态学的Lotka-Volterra型反应-扩散-对流-竞争系统.借助偏微分方程基本理论、单调动力系统理论、以及一些非线性分析技巧,我们探讨了模型中的一些重要参数,如对流系数、资源函数、边界条件等,对系统动力学行为的影响;揭示了不同参数值相应的不同环境对实际问题演化机制产生的本质作用.理论上进一步发展了处理这类非线性问题的方法和技巧,应用上为理解一些实际问题提供一定的理论依据.具体研究内容如下:为了探索对流环境中物种运动方式的演化机制,本文第二章研究了如下模型:ut = duxx-α1ux + u[r-u-v],0<x<L,t>0.vt-duxx-α2vx + v[r-u-v],0<x<L,t>01,(1)dux(0,t)-α1u(0,t)= 0,ux(L,t)= 0,0<x<L,dvx(0,t)-α2v(0,t)= 0,vx(L,t)= 0 0<x<L,其中u和v分别表示两种水生物种的密度,d>0表示湍流或者物种自潜引起的自由扩散速度,α1,α2>0分别表示两个物种在单向性水流运动作用下的有效对流速度,r>0(常数)表示物种的局部增长率.我们假设河流上游是封闭的,因此考虑无流型边界条件;河流下游与一个较大的湖泊相连,因此我们考虑自由流(“free flow”)型边界条件.另外,我们进一步假设两个物种竞争相同的资源r(空间均匀分布)并且拥有相同的竞争能力和扩散速度,但它们的对流速度不同.基于这一假设,我们试图分析清楚究竟是强对流还是弱对流更有利于物种赢得竞争.借助最大值原理、主特征值理论、单调动力系统理论以及一些PDE分析技巧,我们严格证明了对流速度小的物种所对应的半平凡稳态解全局渐近稳定,即对流速度小的物种最终能够完全取代对流快的物种,从而赢得竞争.在本文第三章,我们主要将上述结论推广到更一般的情形:河流下游处的边界条件变得更一般(包含人们熟知的Neumann型,No-flux型和Robin型边界条件),并且资源函数r可以依赖于空间变量x,反映出更合理的空间环境.具体模型如下:这里参数b1,b2≥0用来描述物种在下游处的一种相对损失率,最早由国际著名生物学家M.Lewis等人提出[19].当r(x)单调递减时,我们能够推广第二章中的主要结论.然而,当r(x)单调递增时,系统可能发生不同的动力学行为;特别地,在一定的假设条件下,我们说明了竞争排斥原理不成立,并且两个物种可以最终共存.