控制理论的一个重要思想就是首先对被控对象建立一个用微分方程来描述它的数学模型,然后根据这个数学模型来对其做进一步的分析和综合。一方面,被控对象的数学模型一般是根据基本的物理原理对系统分析建模获得,或者由参数辨识等方法得到。随着现代控制系统的不断复杂化、大型化、系统数学模型的维数也越来越高。另一方面,在应用现代控制理论如H∞,H2,μ分析等对系统进行综合设计时,得到的控制器常常是与被控系统同阶,这就在工程实践上带来了困难,因为阶数越高意味着所需的成本越高、复杂度越大。在控制工程领域,为了研究和分析的方便,往往希望阶数不能太大,因为较低的阶数意味着较简单的模拟程序、较少的计算机时间、较省的动力学元件、较易实现的控制律、较低的噪声灵敏度和较高的可靠性来设计、模拟和实现系统。正因为此,模型降阶在实际中有着广泛的需求和应用。要研究降阶首先要研究系统的稳定性,稳定性的重要意义,小至一个具体的控制系统,大至一个社会系统、金融系统、生态系统,总是在各种偶然的或持续的干扰下进行的。承受这种_干扰之后,能否保持运行或工作状态,而不至于失控,或摇摆不定,至关重要。本论文先研究系统的指数稳定性和自适应同步,再讨论随机不确定系统,受控哈密顿系统和精馏塔线性系统的模型降阶问题。本论文的研究和创新工作主要包括以下几个方面：(1)考虑模型依赖和时滞依赖带有Markovian跳变的随机神经网络的p阶矩自适应指数同步。通过M矩阵方法,移除了在激活函数传统单调性和平滑性的假设。利用代数不等式,获得p阶矩自适应指数同步的条件。这些条件与线性矩阵不等式有很大的不同。通过自适应反馈技术,找到该系统的参数更新律。M矩阵的方法应用到自适应指数稳定同步中,与现有文献比,具有方法的创新。(2)考虑一类带有时滞的不确定随机系统的模型降阶问题,首先给出一个标称随机系统随机稳定的充分条件。在此基础上得到了一个矩阵不等式和秩约束的充分条件,使所考虑系统的模型降阶问题是可解的,所得的结果是时滞依赖的。(3)考虑带有时滞的中立型系统的模型降阶问题,首先给出中立系统稳定的充分条件。再根据这一条件得到了矩阵不等式和秩约束的充分条件,使该系统的模型降阶问题是可解的。同时,也给出了无中立项模型的降阶过程。(4)在现有的文献中,对实际系统用线性矩阵不等式技术进行模型降阶并不多。本论文的应用部分是针对两类实际的系统(即,受控哈密顿系统和精馏塔线性系统)进行模型降阶。设计得到受控哈密顿系统和精馏塔线性系统的矩阵不等式约束条件,并使所考虑受控哈密顿系统和精馏塔线性系统的模型降阶问题是可解的。