结构固有频率及其振型是结构动力学中最主要的动力学特征,求解它们无论对避免共振,防止颤振,还是分析弹性系统的动力响应都有重要意义。如何高效稳定的求解它们是动力学的最重要课题之一。 求解结构固有频率及其振型在数学上归结为求解结构广义特征值问题。现今有很多方法用以求解广义线性特征值问题。对于有限自由度系统的缩聚动刚度矩阵和无限自由度系统的任何动刚度矩阵,其元素是频率的超越函数,因此求解结构固有频率及其振型归结为求解超越特征值问题。相比较而言,求解超越特征值问题的方法比较少,求解的精度和效率不够高,本文着重于超越特征值问题的研究。 根据Sturm序列的性质,wittrick和Williams论证得到了求解超越特征值问题的一种算法,它可以数出在任意预定的频率之下结构的固有频率个数。在此基础上,齐朝晖教授充分利用将结构动刚度矩阵合同变换过程中各矩阵的物理含义,提出了求解结构固有频率的新判据。利用能量范数的导数的性质,将超越特征值问题转化为常微分方程的初值问题。 本文对齐老师的方法进行了研究,总的指导思想是以其为中心,充分挖掘这种方法的特性,发挥其独特优势,以解决这种方法解决不了或解决不好的问题。 文中分析了易于出现重频或者密频的结构特点;研究了重频或者密频结构对应的能量范数-频率曲线特性,并与具有离散频率的结构的能量范数-频率曲线进行了比较,着重在重频点处进行了分析,结合齐老师提出的求解结构固有频率的新判据,得到了解决重频或密频结构的超越特征值问题的新方法;进而通过研究对应于位移模态和外力的矩阵的物理性质,考虑到固有频率自身的物理性质,得到了区分重频和密频的新标准;最后解决了重频对应的多个振型的求解方法。 研究工作表明:文中得出的新方法在超越特征值问题的求解方法中,具有其它方法所不具备的优势,是一个很有价值的研究方向。