图谱理论是代数图论的一个研究热点.在图谱理论的研究过程中,人们引入了与图的结构有密切联系的矩阵,如:邻接矩阵、无符号拉普拉斯矩阵等.图谱理论主要研究图的性质能否及如何由这些矩阵的代数性质(主要为矩阵的特征值)反映出来.图的谱主要可分为邻接谱、无符号拉普拉斯谱等.研究中不难发现,图的邻接谱半径和无符号拉普拉斯谱半径具有较为相似的性质.因此,我们在考虑问题的时候,可以将两者结合起来.设图G有n个顶点,其邻接矩阵为A(G),度矩阵为D(G).对任意的实数α ∈[0,1],Nikiforov给出了图G的Aα矩阵的定义:Aα(G)=ααD(G)+(1-α)A(G).其中,Aα(G)的最大特征值称为图G的Aα谱半径,记做ρα(G).本文所做的结果如下:·第一章简单介绍了本文的研究背景及意义,并给出了本文所涉及到的基本概念和符号.研究发现,同样条件下,图的邻接谱半径与无符号拉普拉斯谱半径具有极为相似的结果,而这些结果往往可以推广到Aα谱半径上.在第一章中,我们介绍了这些结果.另外,我们还介绍了一部分具有特定结构禁止子图的简单图的邻接谱半径、无符号拉普拉斯谱半径以及Aα谱半径的相关结果.·第二章刻画了A 谱半径最大的外平面图的结构,并且讨论了不含K2.tminor的图的Aα谱半径的上界.在这一章中,我们证明了当α ∈(0,1)且n≥48(1-α)2/α3(5+4(1-α)/(?)))+1时,Aα谱半径最大的外平面图是K1∨Pn-1 该结论推广了 Michael Tait和Josh Tobin[14]在邻接谱半径上的结果.在同样范围的α和n下,如果图G不含K2,3 minor,则ρα(G)≤ρα(F3(n)).另外,我们证明了当α ∈(0,1),t ≥ 4 且 n ≥ 16(1-α)2/α3(5+4(1-α)/(?))t+1 时,若图 G 不含K2,t minor,则 ρα(G)α(n+2).另外,我们证明了图G中一定有两个顶点的度为n-1.最后我们证明了A 谱半径最大的平面图是K2 VPn-2.很显然,通过这个结论,我们可以得到无符号拉普拉斯谱半径最大的平面图也是KV Pn-2.这是对Michael Tait和Josh Tobin[14]在邻接谱半径上的结果的推广.·第四章刻画了在直径一定的单圈图类und中,具有最大的Aα谱半径的图的结构.首先,我们证明了对任意的图G ∈und,3 ≤ d ≤ n-2,则Aα谱半径最大的图不是△nd就是▽nd.其次,利用上述结论,我们证明了在n个顶点的直径为d的连通单圈图中,Aα谱半径最大的图是△nd或▽nd.这是对Liu Huiqing,Lu Mei在邻接谱半径以及He Shushan,Li Shuchao在无符号拉普拉斯谱半径上的结果的推广.