由于计算机科学技术、通信技术、微电子技术的发展,使得计算机和通信网络的应用进入了人们的日常生活和工作中,这时人们对信息的安全要求就越来越高。密码技术是信息安全的关键技术,密码算法又是密码技术的核心,随着信息技术的高速发展,目前的公钥密码系统面对人们的需求已显得力不从心了。椭圆曲线密码体制具有安全性能高,计算量小,处理速度快,储存空间占用小,带宽要求低,兼容性强及曲线资源丰富等优势,而且椭圆曲线密码体制便于软硬件的实现,ECC的这些特点使得它特别适合于在计算能力弱的环境下实现,尤其是在通信终端产品如手机、PAD、WAP、智能卡等。这就使得椭圆曲线密码体制的高效性在生活中迎合了人们对信息的高安全性的需求。本文简单地介绍了椭圆曲线密码体制的产生背景和优点;以及椭圆曲线密码中的有限域的数学理论;并给出了在有限域中,两种椭圆曲线在不同坐标系下的方程及其算法;我们可以根据椭圆曲线的优点把它应用到数学签名上;本文得到如下主要结果:(1)分别给出了特征不同的椭圆曲线,在仿射坐标系下、标准射影坐标系下、雅克比坐标系下、LD射影坐标系下的方程。(2)根据椭圆曲线在仿射坐标系下的点加运算和倍点运算详细地计算出了分别在仿射坐标系下、标准射影坐标系下、雅克比坐标系下、LD射影坐标系下的点加运算和倍点运算。(3)对不同坐标系下的点加运算和倍点运算,对它们的运算复杂度做了简单的估计,并给出了几种运算复杂度的比较,明确了在什么情况下应该采取哪种坐标系,以减少计算量达到快速实现ECC的目的。(4)利用椭圆曲线密码体制的一些优点及其性质,可以把它应用到数字签名中。