【摘 要】
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基于非线性偏微分方程求解的迫切需要以及对称在偏微分方程研究中的重要作用,本论文针对一些具有物理意义和现实背景的非线性偏微分方程,运用李群理论和计算机符号计算,展开
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基于非线性偏微分方程求解的迫切需要以及对称在偏微分方程研究中的重要作用,本论文针对一些具有物理意义和现实背景的非线性偏微分方程,运用李群理论和计算机符号计算,展开对称求解、对称分类、对称约化以及精确解等方面的研究. 通过行波变换,本文得到了变系数非均匀谱KdV方程和复合KdV方程组的新的精确行波解，这样处理，偏微分方程可化为形式简单的常微分方程，为了得到关于自变量的其它变换形式,本文利用经典和非经典李群方法研究了推广的Klein-Gordon-Zakharov方程组、(2+1) 维变系数Boiti-Leon-Pempinelli方程组和(2+1) 维变系数Broer-Kaup方程组. 本文共分为六部分: 第一部分,主要介绍国内外关于非线性偏微分方程求解的研究现状,课题引入的背景和一些定义等基础知识. 第二部分，基于齐次平衡法的思想，利用辅助函数，将变系数非均匀谱KdV方程和复合KdV方程组转化为常微分方程组，并应用Maple软件得到了方程的某些精确解，其中包括类孤子解、三角函数解、雅克比椭圆函数解和有理函数解． 第三部分,利用经典李群方法,研究推广的Klein-Gordon-Zakharov方程组的对称分类和对称约化,关键技术是线性超定方程的整理和求解,这两个过程都可直接通过Maple来实现. 第四部分，运用经典李群方法讨论(2+1) 维变系数Boiti-Leon-Pempinelli方程组七类对称形式. 第五部分，运用非经典李群方法对(2+1) 维变系数Broer-Kaup方程组进行对称约化. 最后一部分,对全文的工作进行了总结并对下一步工作进行了展望.
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