图论起源于18世纪，最早关于图论的文章是在1736年由Euler完成的，这篇文章用图的方法解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。自二十世纪五十年代以来，由于计算机科学的迅速发展，有力地推动了图论的发展，关于图论方面的结果大量涌现。四色猜想作为图的染色问题的起源，一直引领着图论的发展，并使得图的染色理论成为图论中的一个重要分支。图的染色理论在最优化、计算机理论、网络设计、时间表问题等方面都有着重要的应用。本文主要讨论图的几类染色问题，如图的线性荫度、均匀染色及全染色等。　　 本文所考虑的图都是有限简单图。给了一个平面图G，用V(G)，E(G)，F(G)和△(G)分别表示图G的顶点集，边集，面集及最大度。给了一个实数x，用[x]和[x]分别表示不小于x的最小整数和不超过x的最大整数。　　 图G的正常κ-全染色是指用七种颜色对V(G)∪E(G)中的元素进行染色，使得相邻的或者相关联的两个元素染不同的颜色。使得图G存在正常的κ-全染色的最小正整数κ称为G的全色数，记作x"(G)。类似地，如果只对图G的顶点(边)染色，那么就可以得到图G的点色数x(G)(边色数x(G))。　　 一个线性森林是每一个极大连通分支均为路的图.对于一个图G，ψ是从E(G)到｛1，2，…，t｝的映射。若对任意α，1≤α≤t，均有染α色的边的导出子图是一个线性森林，则称ψ为图G的一个线性t-染色。图的线性荫度是使得G有一个线性t-染色的最小t值，记为la(G).此定义由Harary于1970年提出。下面是一个著名的线性荫度猜想：　　 猜想1.对任何简单图G，均有[△(G)/2]≤la(G)≤[△(G)+1/2]。　　 Péroche证明了：即使△(G)=4，确定图G的线性荫度也是一个NP-困难问题。本文第二章主要给出了一些平面图的线性荫度的确切值。　　 本文讨论的另一个问题是均匀染色。设ψ是图G的一个正常κ-点染色，若ψ的任何两种不同颜色所染的顶点数目至多差1，则称ψ是G的一个均匀κ-染色。若G有一个均匀κ-染色，则称G是均匀κ-可染的。图G具有均匀κ-染色的最小正整数κ，称为G的均匀色数，记为xe(G).1973年，Meyer提出以下猜想(均匀染色猜想)：　　 猜想2.如果G是不为完全图和奇圈的连通图，则xe(G)≤△(G)。　　 1994年，Chen，Li和Wu提出了以下猜想：　　 猜想3.如果G是一个连通图，且既不是完全图Kn，奇圈又不是完全二部图K2n+1，2n+1(n≥1)，那么G是均匀△(G)-可染的。　　 本文将给出关于猜想3的几个结果。　　 对于全染色，Behzad和Vizing分别提出以下猜想：　　 猜想4.(全染色猜想)对任意图G，都有△(G)+1≤X"(G)≤△(G)+2。　　 该猜想目前还远没有解决，对于平面图G，如果最大度△(G)≠6，则该猜想已经被验证。另外当G为一个平面图且△(G)≥9时，x"(G)=△(G)+1。本文将会讨论△(G)≤8时，几类有限制条件的平面图的全色数。　　 第一章，介绍了图论中的一些定义、符号、本文所讨论的各种染色的进展状况及本文的主要结论，给出了一个简短但相对完整的综述。　　 第二章，讨论了平面图的线性荫度。求得了几类有限制条件的平面图的线性荫度的确切值，以下是本章的主要结果：　　 结论1假设G是一个△(G)≥5的平面图.如果G不含5-圈和6-圈，则la(G)=[△(G)/2]。　　 结论2令i和j是两个固定的正整数(3≤i≤j≤5)。若G是一个△(G)≥7的平面图，且G中任意i-圈和j-圈均不相邻，则la(G)=[△(G)/2]。　　 结论3令G是一个△(G)≥5的平面图.若G中每一个4-圈均不与i-圈相邻(()i∈｛3，4，5｝)，则la(G)=[△(G)/2]。　　 第三章，讨论了平面图的均匀染色.利用平面图的结构性质及换色法等技巧，改进了zhang和Yap的关于平面图均匀染色的结果。以下是本章的主要结果：　　 结论4若G是最大度△≥10的平面图，则对任意的正整数m≥△，图G都是均匀m-可染的。　　 结论5若G是最大度△≥6且不含3-圈的平面图，则对任意的正整数m≥△，G是均匀m-可染的。　　 结论6若G是最大度△≥7且不含4-圈的平面图，则对任意的正整数m≥△，G是均匀m-可染的。　　 第四章，讨论了平面图的全染色。给出了有限制条件的两类平面图的全色数的精确值.以下是本章的结果：　　 结论7假设G是一个不合相邻4-圈的平面图.如果△≥8，那么x"(G)=△+1。　　 结论8假设G是一个△(G)≥6且不含相交4-圈的平面图，且G满足下列条件之一：(1)不含相交3-圈，(2)不含5-圈，(3)不含6-圈，则全色数x"(G)=△+1。