非线性发展方程是许多非线性问题在数学中的表现。例如在弹塑性力学中提出的四阶非线性波动方程；在研究DNA分子中的非线性波传播时提出的IMBq型方程组；描述非线性粘弹性梁振动的Kirchhoff型方程等等。这些非线性高阶发展方程(组)日益受到数学界的高度重视。对于非线性发展方程的整体经典解的存在性的研究以往有很多结果，并已发展了不少有效的处理方法，但由于发展方程涉及的范围十分广泛，非线性的特点又多种多样，同时只能在一些相当特殊的条件下才能得到整体经典解的存在性，因此不少结果往往只是针对某些特定的模型，具体方程的定解问题得到的结果总的说来结果比较零碎，还未形成一个相当一般的理论。自90年代初开始，对于非线性发展方程的解的性态的研究特别是对非线性波动方程解的性态的研究有了新的进展，即对于非线性波动方程的初边值问题的解不仅存在，且具有渐近行为和指数衰减等形式。 本文建立了一类轴向载荷作用下的非线性弹性支承梁方程，并利用Galerkin方法，讨论了该方程的初边值问题： ü+u(4)-(b0+B(u(1)|2))u(2)=f(x，t，u，u(1)，.u)x∈Ω=(0，1)，0＜t＜T(1) u(0，t)=u(1，t)=u(2)(0，t)=u(2)(1，t)=0(2) u(x，0)=～u0(x)，.u(x，0)=u1(x)(3) 的局部弱解的存在性唯一性及其扰动问题。主要结果分以下四部分： 在第一章中，我们简单介绍了非线性偏微分方程，并对国内外当前对非线性偏微分方程的研究现状做了简要概述； 在第二章中，给出了一些重要概念和重要引理，并对一些符号做了说明； 在第三章中，利用Galerkin方法首先证明了问题(1)-(3)的变形问题： ＜üm(t)v＞+＜um(4)(t),v＞+(b0+Bm(t))＜um(1)(t),v(1)＞=＜Fm(t),V＞(4) Fm(x，t)=f(x，t，um-1(t),u(1)m-1(t),.um-1(t))(5) Bm(t)=B(|u(1)m-1(t)|2)(6) um(0)=～u0，.如m(0)=～u1(7) 的局部弱解的存在性，并在此基础上证明了问题(1)-(3)的局部弱解的存在唯一性。 在第四章中，利用Galerkin方法讨论了问题(1)-(3)的扰动问题的弱解及其直到二阶估计。