本文总结了积分形式和有限元超收敛研究的现状,阐述了常规有限元在改善应力精度方面的进展以及遇到的问题。经典的有限单元法通过对位移的求导得到应力,所得到的应力精度与节点位移的精度相比,呈现了数量级的降低。如何提高和改善应力计算的精度,一直是有限元研究人员关注的焦点。本文建立了弹性力学分区求解体系,为弹性力学问题的一阶有限元解法提供了理论支持。利用基于弱形式的FreeFem++平台,实现了弹性力学一阶弱形式有限元解法,使得应力精度达到了节点位移同阶的精度。本文的主要工作和主要结论如下:(1)阐述了有限元弱形式的基本概念和理论。引入基于弱形式的FreeFem++该工具平台,详细介绍了 FreeFem++的基本语法和使用方法,对于能用偏微分方程进行描述的物理问题,只要写出相应的弱形式,就可以在FreeFem++平台上实现可以有限元数值求解。弱形式结合FreeFem++使得本文提出的新算法得以快速的实现及验证。(2)基于微分形式,建立了弹性力学分区积分形式和分区弱形式。指出了分区积分形式、分区弱形式与常规积分形式、常规弱形式的关系和区别。提出了分区应力平衡积分形式与分区几何协调积分形式的对偶关系以及分区应力平衡弱形式与分区几何协调弱形式的对偶关系。这种对偶关系是分区应力平衡积分形式与分区几何协调积分形式内在联系的体现。(3)分析了积分形式解的组成模式,给出了有限元精确解的定义。基于分区弱形式的弹性力学求解体系为弹性力学一阶有限元解法提供了理论体系的支持。采用分区弱形式推导有限元,容许加权函数在分区的公共交界面上不需要事先强制满足连续条件的要求,为构造各种非协调元提供了理论基础和宽松的选择范围。(4)提出了一个建立弹性力学分区变分原理的理性方法,导出了各类分区变分原理。基于分区弱形式,导出了分区的虚位移方程和分区的虚应力方程,提出了分区虚位移方程和分区虚应力方程的对偶关系。基于分区积分形式,导出了分区广义虚功方程,讨论了分区广义虚功方程势能形式与余能形式的对偶关系。(5)基于刚体体系虚功方程,以杆件体系为例,建立了考虑内力和相对位移的刚体体系虚功方程。新虚功方程统一了刚体体系虚功方程和变形体虚功方程的表现形式。揭示了刚体体系虚功方程中几何矩阵与平衡矩阵互为转置矩阵的对偶关系。(6)对弹性力学二维问题分别推导了出其二阶弱形式有限元解和一阶弱形式有限元解。结合典型算例,对两种算法的结果进行对比分析。结果表明,一阶弱形式解法使得应力精度达到了与节点位移同阶的精度。(7)对弹性力学三维问题分别推导和实现了二阶弱形式和一阶弱形式。典型算例的结果表明,一阶弱形式解法使得应力精度与节点位移精度同阶的结论对三维问题也成立。本文的一阶弱形式方法有望推广到薄板理论、中厚板理论、壳体理论以及计算流体力学的有限元数值计算领域。弹性力学分区求解体系将促进有关非协调元、拟协调元的研究。