【摘 要】
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非线性发展方程是从物理、生物、化学等其他学科为了建立模型解决实际问题提出来的,因此这些方程都有着深厚的背景和广泛的应用.非线性浅水波方程就是非线性发展方程中比较重要的一类.近几年来,这类方程已成为数学学科中比较热门的研究分支之一.本文主要讨论了高阶的Camassa-Holm方程,两分支Camassa-Holm系统,两分量Novikov系统,Geng-Xue系统以及高维的Camassa-Holm系统
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非线性发展方程是从物理、生物、化学等其他学科为了建立模型解决实际问题提出来的,因此这些方程都有着深厚的背景和广泛的应用.非线性浅水波方程就是非线性发展方程中比较重要的一类.近几年来,这类方程已成为数学学科中比较热门的研究分支之一.本文主要讨论了高阶的Camassa-Holm方程,两分支Camassa-Holm系统,两分量Novikov系统,Geng-Xue系统以及高维的Camassa-Holm系统初值问题解的性质.为了充分了解初值与对应解的关系,我们以解的局部适定性结果为基础,着重研究了这几个非线性水波方程周期或者非周期情形下在Besov空间中解对初值的不一致连续依赖性,即解映射在对应能量空间中的不一致连续性.我们主要是通过近似解法得到结论.首先,构造出合适的近似解;然后,设对应问题的初值和近似解在t=0相等,从而以初值为桥梁将近似解与解的关系建立起来,估算近似解与解的差;最后,通过对应能量空间中的插值不等式以及其它一些相关理论得到结论.在证明过程中构造近似解是关键的步骤之一;另外,以解的局部适定性结果为基础,高阶的Camassa-Holm方程,两分支Camassa-Holm系统以及Geng-Xue系统解映射的Holder连续性在不同能量空间也被进行了详细地讨论;除以上性质外,我们还通过一个推广的Ovsyannikov定理讨论了两分量Novikov系统解在Sobolev-Gevrey空间中的局部正则性和解析性,进一步得到了解映射在对应空间中的连续性.这些结论可直接应用到Novikov方程.
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