本课题研究树鞅理论与相关领域的联系及其应用，这个课题是带有应用用背景的理论研究。该课题研究主要结果如下：　　 首先，用图的理论建立了一个树鞅指标集的图分解，这个分解刻画了树鞅指标集的结构。基于这个分解，证明了树鞅指标集同构于一个有向森林，这个森林中的每一棵树都是有向局部有限树，这就证明了树鞅指标集有一个分解，它的每一部分同构于一个有向无限、局部有限树。在这个结果的基础上，我们定义了局部有限树集的概念，利用这个概念又定义了局部有限树鞅，通过局部有限树鞅给出了树鞅分解定理。进一步，通过构造一个保序一一映射，证明了每个局部有限树鞅同构于一个多指标鞅（Cairoli-Walsh鞅)，这就在树鞅与多指标鞅(Cairoli-Walsh鞅)之问建立了联系，接着利用这种联系与Cairoli-Walsh鞅收敛理论证明了局部有限树鞅收敛定理。再基于树鞅分解定理和局部有限树鞅收敛定理，证明了一个树鞅收剑定理。　　 其次，基于树鞅分解理论，给出了一种证明树鞅不等式的简洁方法。在合理假发下，用这种方法证明了树鞅的Burkholder-Davis-Gundys不等式及Doob不等式。对比F.Schipp,F.Weiszs方法，这种方法既不需要树鞅是可控或正规这两个条件，证明过程也相当简洁，而且可以获得精确不等式系数。　　 再次，应用鞅变换和构造或凹函数方法证明了标量值可料树鞅的。一方极大算子和。一条件方极大算子的拟数不等式；然后，在这些拟数不等式的基础上，应用Hardv—Lorentz空间插值方法证明了当树鞅是可控或正规树鞅时关于标量值可料树鞅。一方极大算子和。一条件方极大算子的Burkholder-Davis-Gundys不等式成立。同时，用G. Pisiers结果在树鞅取值空问x同构于a-一致Banach空间条件下，证明了儿个x一值树鞅a-方极大算子和a-条件方极大算子的拟区数不等式与区数不等式。然而，对比标量值情形这些x-值树鞅不等式成立与否和a>2这个条件密切相关。　　 最后，在UMD空间中，我们定义了树鞅鞅变换及其极大算子，并用UMD空间儿何性质和Hardy-Loretz空间的算子插值理论证明了UMD空间值树鞅鞅变换的极大算子不等式。应用这个不等式，我们获得了UMD空间值Vienkm系统以范数收敛和儿乎处处收敛定理，即carleson定理的扩展。这是树鞅理论在Fourier分析中的一个重要应用。Vilenkin系统，特别是Vilenkin血系统的一个特例-Walsh系统在图像处理、信号过程等信息科学领域有广泛应用。