偏微分方程最优控制问题在理论研究和工程应用中都具有重要的地位。关于其数值计算在最近几年更是成为应用数学领域的热点问题。因此发展有效的数值计算方法就成为了当前研究者面临的一个重要任务。　　 本文首先研究了一类状态受限最优控制问题的数值求解方法。工作是把控制问题转化为一个极小化问题，进而转化为一个四阶变分不等式问题。直接数值求解这个变分不等式，可以得到状态量和最优控制量的离散逼近。另外，通过把四阶变分不等式问题转化为一个混合变分问题，得到了状态受限最优控制问题的混合元计算格式，不仅可以同时计算状态量和最优控制量，而且可以处理状态和控制同时受限的问题。对上述两种求解格式进行了理论分析，得到了先验误差估计，并且对后一种混合格式进行了后验误差估计和自适应有限元(混合元)方法的研究。对两种新格式进行了数值试验，均取得了比较好的计算结果。　　 在第二部分，考虑了控制受限问题的hp-有限元方法。对于最优控制问题，由于最关心的最优控制量通常只是在自由边界附近光滑性很差，而在远离自由边界的区域却很光滑，因此基于hp-有限元方法的特性，它似乎能够更有效地处理这一类问题。主要工作是给出了积分型控制受限情形下hp-有限元后验误差估计的上界和下界，这是第一个关于最优控制问题hp-有限元后验误差估计的结果。　　 在第三部分中，利用最优控制理论研究了生物荧光断层成像(BLT)问题的数值模拟。它的简化数学模型是一个典型的反问题，即通过实测得到的Dirichlet和Neumann边界条件来确定发光源的强度，从而确定病灶的位置和大小。通过Tikhonov正则化方法，可以把这个问题转化为最优控制问题。针对小正则化参数的特殊情况发展了一种新的误差估计方法，基于特殊的组合范数意义下的凸性，给出了一个改进的先验误差估计。此外，还构造了一个新的正则化计算格式，对新格式进行了相应的理论分析，并利用新的算法得到了比较理想的计算结果。　　 最后，研究了抛物方程边界控制问题的后验误差估计。对于具有三种不同观测空间的边界控制问题，得到了经典的基于时间变量L3—范数和空间变量能量范数的后验误差估计上界。