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集值优化问题中的(弱)有效解的范围较大,收缩解的范围成为集值优化研究的一项重要工作,由此各种真有效解的概念相继引入,Benson真有效性是其中具代表性的真有效性之一,因而研究Benson真有效性成为优化理论的一项重要内容.而次微分是刻画集值优化的一种重要方法,次微分运算是非光滑分析的一个非常重要的部分.例如,它对研究优化问题的共轭对偶锥和建立最优性条件都起着非常重要的作用.次微分这个概念首先是由R.T.Rockafellar[19]引进的.近年来,集值优化已成为关注的热点问题,很多学者在集值优化问题中引进并研究次微分.
刻画集值优化问题的次微分(次梯度)有导数型的和非导数型的,非导数型的次微分(次梯度)存在条件比导数型的存在条件要弱.X.Q.Yang[13]引进了非导数型的弱次微分;P.H.Sach[14]在集值优化问题中引进了非导数型的Benson次微分;Chen G.Y.Jahn J.[23]引进了集值优化问题的非导数型的Chen-弱次微分,是集值映射关于某一点象集的弱次微分:SJ.Li,X.L.Guo[17]讨论了这两种次微分的性质,并用它刻画了集值优化问题:李太勇[7]在严有效解意义下引进了非导数型次梯度,讨论了它的存在性,其存在条件较弱,并用其刻画了严有效元.本文在较弱的条件下引进集值映射的Benson次梯度(非导数型),证明它的存在性,讨论它的若干性质,并用来刻画集值优化问题的Benson真有效解:并在偏序完备的实拓扑线性空间中在Benson真有效性的条件下引进Set-Benson次微分,用Hahn-Banach定理证明它的存在性,用Set-Benson次微分来刻画集值优化问题.