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在实际应用中，很多问题出现的方程都是奇异非线性方程，如分歧点、折点等。Decker、Kelley、H.B.Keller等人研究了用牛顿法、Chord法和拟牛顿法等求解奇异非线性方程，证明了其收敛定理并得到了相应的渐近收敛速率。如何利用空间几何性质进行组合迭代，在几乎不增加计算量的前提下，改善收敛速率是很有意义的，本文在这方面进行了研究。
全文总共分四部分。首先，在绪论部分主要阐述了国内外有关奇异问题的发展概况，并介绍了本文的主要研究内容、课题背景和研究意义。其次，外推法在级数计算、圆周率计算、差分及有限元等方面有着广泛的应用。在Hilbert空间和L
空间中，将外推技巧和Broyden方法相结合，构造了新的迭代格式，应用到求解奇异问题当中，在几乎不增加计算量的情况下，提高了原有方法的渐进收敛速度。再次，在一般的Banach空间中，Newton-Moser方法在非线性方程的奇异情况下是线性收敛的，渐近收敛速率是一个三次方程的根。利用Hilbert空间和L
空间的几何性质，针对奇异问题，修正了Newton-Moser方法。使Newton-Moser方法在保持原有计算量的基础上，提高了渐近收敛速度，实际算例的结果与理论结果吻合。最后，Halley法、Chebyshev法和Supper-Halley法都是求解非线性方程的重要方法，由于其具有独特的优点，因而被广泛的使用。本文结合Hilbert空间和L
空间的几何性质修正了Chebyshev方法用于求解奇异问题，证明了该方法的收敛性并获得了相应的渐近收敛速率。