非线性科学已成为各门学科的研究前沿，固体力学将呈现出以非线性力学为核心的发展趋势，其所代表的无穷维动力系统的研究也已经获得了很大的进展。目前，混沌科学虽然在基础理论方面取得了很大的进展，但还没有取得根本性的突破，还有许多问题没有解决，数值计算仍然是研究混沌现象的一项基本手段。鉴于上述情况，本文主要作了以下几方面的研究工作： 1.对固体力学领域中混沌运动的研究现状和方法作了整体上的概述，并针对基本结构元件非线性直杆的动力学相关研究作了简要的回顾，指出了其中一些值得注意的问题。 2.针对数值计算在非线性动力学研究中的重要性，利用VisualC++6.0面向对象编程语言，开发了微分动力系统的仿真分析软件，集成了对已知微分动力系统和实验数据的各种混沌表征分析功能，其中主要包括时程曲线，相平面轨迹(或重构)，功率谱分析，Poincaré映射以及混沌的定量特征参数李雅谱诺夫指数的计算等。实现了人机交互操作和动态直观显示，可望为动力系统的研究提供一个极为便利的分析工具。软件主要特点有：(1)软件内植入了求解微分方程初值问题的自适应伪弧长算法，有利于对刚性和奇异性方程的求解；(2)独特的符号解析功能实现了微分动力系统输入的任意性，使其不再是一个局限于内嵌固定方程的演示软件而成为一种工具，从而极大地拓宽了软件的应用范围；(3)软件部分模块(Lyapunov指数谱)的计算中，利用Matlab软件提供的接口协议调用了Matlab符号Jacobi矩阵运算功能，实现了软件与Matlab的后台通信。另外通过一些算例的比较，验证了软件计算的正确性和准确性。 3.杆件作为力学与工程应用中最常用的基本构件，在一般的靜动力分析中成为首当其冲的研究对象。由于在工程上应用的广泛性，所以分析其强度、刚度和稳定性都是十分重要的，本文首先基于虚功原理导出了三次物理非线性Keilven-Voigt粘弹性杆在考虑横向惯性效应下的纵向波动方程。并应用多尺度法得到了杆应变相对于慢尺度时间变量的MKdV-Burgers方程，然后根据非线性演化方程孤波解、冲击波解与动力系统同、异宿轨道相对应的思想，得到了三次物理非线性杆MKdV方程在硬非线性材料下的孤波解和软非线性材料下的冲击波解以及两种情况下的椭圆行波解。分析了非线性系数，色散系数对上述非线性波的存在，以及对孤波传播速度、波幅、波宽等性质的影响，并进一步利用双曲正切函数法得到了非线性Keilven-Voigt粘弹性杆MKdV-Burgers方程的精确解，阐明了结果的物理意义。由于孤波和冲击波的形成伴随有能量的积聚，其稳定的长距离传播可能会导致结构缺陷处的损坏，上述结果的得出可为结构的动力学设计和动态破坏分析提供一定的借鉴。 4.研究了一端固定一端受简谐周期激励的二次及三次非线性Keilven-Voigt粘弹性直杆在考虑横向惯性效应下的混沌响应，应用Galerkin方法将该无限维动力系统转化为一个单模态的动力方程，并应用Melnikov函数法给出了混沌产生的临界条件；通过计算次谐轨道的Melnikov函数，发现该系统在参数激励与强迫激励联合作用下，只须经过有限次分叉即可进入混沌。通过仿真计算，分别在激励幅值和阻尼系数参数空间上给出了该系统由倍周期分叉通向混沌的各级分叉参数值和进入混沌的阀值。相应给出的Lyapunov指数谱随参数的变化曲线也呈现了与分叉曲线完全一致的特征，从定量上验证了该系统分叉和混沌的存在。Poincaré映射给出了清晰的混沌吸引子图像，并且得到了该吸引子的Lyapunov指数谱和分形维数。 5.虽然Galerkin法已广泛应用于连续系统的动力学分析，但其截断的合理性尚无直接的证明或根据，本文对上述非线性Keilven-Voigt粘弹性杆的控制方程分别采取了1到3阶的截断，并分别对之进行了数值计算，分析了截断阶数对分叉和混沌计算的影响，结论认为特别是在包含二次非线性的情形下，其二次非线性项仅在一阶截断方程的系数中有所体现，而且计算结果表明一阶截断的首次分叉值误差较大，采取二阶以上截断才能给出工程意义上较为安全的结果。 6.对物理非线性直杆双模态自由振动所得的两自由度Hamilton系统进行了分析，利用近可积保守Hamilton系统的Melnikov方法给出了其发生混沌的临界条件，数值仿真验证了该系统当能量由低到高逐渐变化时，KAM环面逐渐破裂，系统由周期或拟周期运动向混沌演化的过程。说明了物理非线性杆无强迫自由振动也存在着随机性，并且仿真计算发现Hamilton系统在向混沌演化的过程中，一些KAM环面“缢断”而分裂为多个小环面，并且这些小环面是互相连通的，这是一个新现象，这种现象的普适性尚待进一步的理论研究。 7.Galerkin法在多阶截断下所得的控制方程会由于方程所含项数呈几何级数增长而变得异常庞大，为此本文利用有限元方法对非线性粘弹性杆进行空间离散，并应用虚功原理得到了一组耦合非线性常微分方程所代表的非线性动力系统，对其在周期外力激励下的分叉和混沌响应进行了数值计算，得到了不同参数下的时程曲线，相平面轨线，功率谱和混沌吸引子，并比较了不同离散单元数以及时间步长对计算结果的影响，结果表明，有限元法虽然计算工作量较大，但对于结构分叉和混沌的计算是可行的，尤其与Galerkin方法的多阶截断相比，将更具优势。 8.Melnikov方法现已被广泛地用来作为微扰哈密顿系统是否发生次谐或超次谐分叉乃至混沌的判据。本文通过对一类非自治微分动力系统的研究，证明了在这样一类系统中如果存在周期解则只可能是次谐周期解，超次谐周期解不可能存在，并进一步证明了在一类平面问题中所定义的旋转(R)型超次谐周期解同样不可能存在。作为该结论的一个应用，文中考察了几个典型的算例，结果表明现有的二阶Melnikov方法判断平面扰动系统是否存在超次谐周期解的结论是不恰当的，并做出了一个几何上的解释。