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这篇博士论文集中了作者在攻读博士学位期间的主要研究成果.我们首先研究了下面这类带有Neumann边值条件的非线性椭圆振荡问题:(公式略)利用序区间山路定理、上下解方法、Morse理论和度理论得到了无穷多非常数正解和负解,同时在适当的假设条件下我们获得了更为准确的信息,即在每一个包含两对上下解的序区间里找到至少两个非常数解,其中f(t)是在直接αt附近摆动的振荡函数,α>0,t∈R.并且我们还举例说明对于某一类振荡函数(0.0.1)没有非常数正解和负解.此外,我们讨论了(0.0.1)的变号解的多重存在性问题.在适当的假设条件下我们可得到(0.0.1)的无穷多变号解.其次,我们研究了带有Dirichlet边值条件的振荡问题.对于带有Dirichlet边值条件的振荡方程很难找到无穷多个两两不交的序区间.为了克服这一困难,我们建立了一个半序区间山路定理并且利用它研究带有Dirichlet边值条件的振荡问题并得到了无穷多解.最后,我们建立了一个关于J∈C<2-0>(E,R)的Gromoll-Meyer分裂定理以及shifting定理,并且通过利用有限维逼近,光滑化和Morse理论我们把Poincaré-Hopf定理推广到f∈C<1>(E/R)的情形.Gromoll-Meyer分裂定理和Poincaré-Hopf定理是临界点理论中的基本工具.然而,它们通常在较强的假设J∈C<2>(E,R)下是成立的(见[7],[18]).当我们研究跳跃非线性椭圆方程多重解的存在性问题时,这个方程对应的势能函数J(u)∈C<2-0>(E,R).这时通常的临界点理论例如分裂定理,shifting定理以及Poincaré-Hopf定理不再适用.为了克服这一困难,我们需要建立关于J∈C<2-0>(E,R)的上述定理.我们的主要目的是利用Poincaré-Hopf定理和分裂定理研究跳跃非线性椭圆方程的多重解的存在性问题.