【摘 要】
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随机模型与确定型模型相比,一般能够更加真实可靠地描述实际生活中的问题,因此随机模型在科学理论和生产实践有着广泛的应用,比如:经济学、生物学、医学和金融等等领域。不幸的是,在大多数情况下随机模型不可能直接求得解析解,因此研究随机微分方程（SDEs）和随机延迟微分方程（SDDEs）的数值解是很重要的,特别是构造精度高、格式简便的数值方法是非常有必要的。首先,本文介绍了与SDEs和SDDEs相关的背景知
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随机模型与确定型模型相比,一般能够更加真实可靠地描述实际生活中的问题,因此随机模型在科学理论和生产实践有着广泛的应用,比如:经济学、生物学、医学和金融等等领域。不幸的是,在大多数情况下随机模型不可能直接求得解析解,因此研究随机微分方程（SDEs）和随机延迟微分方程（SDDEs）的数值解是很重要的,特别是构造精度高、格式简便的数值方法是非常有必要的。首先,本文介绍了与SDEs和SDDEs相关的背景知识与研究意义,在此基础上罗列了几个后文需要用到的相关不等式和引理。为避免传统的差分方法中出现复杂的导数项和计算量大的问题,针对SDEs和SDDEs的数值解问题,本文根据一般的随机Runge-Kutta方法（RK）,引入新变量,构造出了显式强1阶随机RK方法。其次,本文利用构造的显式强1阶随机RK方法写出非线性SDEs和非线性SDDEs对应的离散格式,并通过MATLAB求解两类方程对应的数值解。重点考虑了数值解的均方稳定性和几乎必然指数稳定性,得到在方程的漂移项和扩散项满足一定条件时,当系统的理论解是均方稳定或几乎必然指数稳定时,用该方法得到的数值解也是均方稳定或几乎必然指数稳定的。最后,本文给了三个具体的方程,分别是一个非线性SDEs、一个线性SDDEs以及一个非线性SDDEs。运用强1阶随机RK方法求其数值解,然后进一步通过数值实验验证了本文理论结果的正确性和方法的有效性。
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