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利用分片代数曲面方法来构造光滑拼接曲面的方法在计算机辅助几何设计和计算机图形学领域中有着重要应用，此方法可以降低拼接曲面的次数，解决了单片拼接曲面次数过高的问题。在构造分片代数曲面时需要确定空间剖分，剖分中剖腔的个数决定光滑拼接曲面的片数，片数越多拼接曲面的次数就可以越低。但是，对于多个平面的角点磨光问题，复杂的空间剖分会使得相应的协调方程组越来越复杂，令构造难度大幅增加。所以，人们希望能以最简单的空间剖分，构造次数最低的分片光滑拼接代数曲面，于是空间剖分的复杂程度与光滑拼接曲面次数之间的关系就显得非常重要。
本文考虑四个平面横截交于一点处光滑拼接的空间剖分问题，借助围绕一个顶点处的代数曲面Blending条件，利用多项式环上的素模中的生成基方法，判断凸组合情形下五片G连续k+1次光滑拼接曲面的存在性问题，给出空间剖分的复杂程度与光滑拼接曲面次数之间的关系。文中结果将直接影响多个平面角点磨光问题的光滑拼接曲面的最少片数和最低次数。
本文研究内容如下：
第一章，对角点磨光的分片代数曲面方法做一个简单的回顾，并对三个平面角点磨光的情形做简单的介绍；
第二章，介绍代数几何理论等相关基础知识，给出了几何连续性的定义；
第三章，简要介绍了罗钟铉教授的多项式环上素模中的生成基理论，以及求解多项式系数方程组的几种方法；
第四章，讨论凸组合情况下四个平面横截交于一点处的五片G连续k+1次光滑拼接曲面的存在性问题：首先，将围绕一顶点处的代数曲面光滑拼接条件转化为多项式系数方程组的求解，然后利用多项式环上素模中生成基方法求解此方程组，由非零解的存在性判断G连续k+1次光滑拼接益面的存在性问题。
最后我们总结此问题的结论，并提出了需要进一步研究的问题。