马氏链作为描述一类实际问题的数学模型，在经济学、生命科学、随机服务系统、计算科学、随机分形等领域中取得了极为丰硕的成果。信息论中的马氏信源是一种很重要的信源，如实际生活中的语声、图像、电视信号等等都是二重及多重马氏信源。因此对马氏信源进行更进一步的理论方面的研究具有十分重要的意义。同时随着信息论的发展，树图模型近年来引起物理学、概率论和信息论界的广泛兴趣。树上的随机场是随机过程理论在树上-这一最新的数学模型上的应用，它产生于信息理论的编码和译码问题。近几年，刘文教授和杨卫国教授及合作者在树上马氏链场方面做了许多工作，取得了大量突出的成果。　　 本文主要研究了非齐次马氏信源最优码率的极限定理及Cayley树上非齐次马氏链的强大数定律。首先，介绍了一些相关的理论基础知识，如鞅及鞅差序列的定义与性质，条件期望的定义与性质，马氏链的定义与性质等等；其次，本文在给定非齐次马氏信源的转移矩阵列绝对平均收敛到一个不可约的转移矩阵的条件下，应用非齐次马氏信源的渐近等分性得到非齐次马氏信源最优码率的极限足熵率，推广了已有的结论；最后，本文利用构造鞅的方法，根据Doob鞅收敛定理和一些特殊的不等式来进行研究，得到了Cayley树上非齐次马氏链的强大数定律，所得结果将非齐次马氏链上的强大数定律推广到树图上。