无网格方法起源于上个世纪七十年代,从九十年代初期开始了大量的研究。该方法的动机是为了舒缓通常的网格方法(例如有限元)用于求解一些复杂的工程问题(如裂纹传播问题、大变形问题等)时划分空间网格的沉重负担。从这类方法诞生的初期,人们便意识到了(刚性矩阵、质量矩阵、承载向量的元素的)数值积分严重地阻碍Galerkin无网格方法的有效运用。不充分的数值积分甚至可以导致方法的失败。尽管工程界进行了很多的努力来处理这个问题,然而对于它的精确的理解仍然是很缺乏的,工程师们经常用“过度的积分”,计算代价相当昂贵。同时,鲜有系统的理论(数学)分析来研究这个问题。因此,数学上考察数值积分对无网格方法的影响并在此基础上设计可靠的积分公式是这类方法成功的关键。　　 无网格方法中数值积分的困难的主要原因在于,它的形函数往往不是多项式,甚至没有显示的表达式。因此,普通的积分公式(如高斯积分)不能给出满意的效果。我们的研究表明,为了提高无网格方法的精度,其数值积分公式必须要满足特定的条件。本文中,我们主要研究了两种条件:零行和条件与格林公式条件。前者要求刚度矩阵的所有行的元素之和为零;后者要求,当Green公式的两端的积分项被数值地计算时,等式依然可以对一些特定的光滑函数类成立;。我们同样给出了满足这个条件的算法,我们称之为积分校正原则。我们提及一些标准的积分公式并不满足这个条件,例如高斯积分。　　 在第一章我们考虑了数值积分对再生一次多项式的无网格方法的影响。积分公式满足[6]中的零行和条件。我们在以下几个方面改进了[6]的结果:(a)[6]中的理论分析依赖一个很难验证的假设([6]Axim2),而我们的分析则不需要这个假设;(b)我们对“背景网格”积分法做了分析,这是[6]中没有考虑过的。我们知道,背景网格积分是无网格方法中大量使用的,但是据我们所知,这个方法的理论分析一直是没有的。(c)我们用拉格朗日乘子法处理Neuann边界条件(数值积分出现时的相容性条件),避免了[6]中的另外一个假设([6]Axiom9)。我们指出,与[6]的结果一样,能量范数意义下的收敛阶仍然是O(h+η),其中η是与数值积分精度相关的常数、h是离散化常数,但是我们的分析不存在难以验证的假设。　　 在第二章,我们给出了数值积分影响的另一个数学分析,其中数值积分要求满足格林公式型的条件。我们同样给出了构造这种积分格式的算法。而且,与第一章结果不同的是,我们考虑的是可以再生任意k≥1的阶多项式的无网格方法。我们给出,在我们提出的数值积分算法下,近似解与真解的误差是O(hκ-1(h+η))。因此我们发现,如果η≠h,则无网格方法不能给出最佳的收敛阶,而当我们令η=O(h)时,我们可以获得最加的收敛阶。　　 在第三章,我们扩展了前一章的结果,我们考虑的方程是带有非常系数和低阶项的Neumann问题。我们要求数值积分公式满足格林公式的另外一个版本,该版本强于前一章的版本。这使得积分公式的构造不依赖于方程的系数。在这样的数值积分下,我们得出了近似解逼近误差的能量范数是O(hκ-1(h+η))。我们指出,对于没有低阶项的Nemann问题和κ=1的情形,本章中的数值积分公式与前一章的是相同的。但是对于κ＞1的情形,情况就不同了。满足本章条件的数值积分公式必然满足前一章的,反之不然。这里,我们还调查了对与刚性矩阵、质量矩阵和承载向量使用不同积分公式的可能性,这是前一章没有考虑过的问题。而且,我们还给出二维κ=1,2情形下满足格林公式型积分公式的构造方法。一维κ=1的情形在前一章已经考虑过了。