矩阵理论是二十世纪随着工程科学进步而发展起来的一种数学方法，计算机的发明更加推动了计算数学的应用。如今，矩阵理论作为数学研究的一个基本工具被广泛应用。作为工程计算的产物，矩阵计算出现在很多领域。例如：矩阵的奇异值和谱理论出现在对物质光谱的分析；矩阵的扰动理论对大规模数据的误差分析。一般矩阵固有性质的研究对我们有深刻的指导意义，然而，特殊矩阵的研究也有着同等重要的地位。不仅如此，可以说这些特殊的矩阵是我们整个矩阵群的非常值得研究的那些元素，就像0和1之对应于自然数那样。 本文主要是对友矩阵以及无穷维友矩阵这类特殊矩阵的一些讨论。我们陈列友矩阵的一些定理，其中特别提到了Vandermonde矩阵和Barnett公式。这样做有两个目的：一方面，这些定理本身就有很重要的应用，我们特别从友矩阵对应的多项式的因式分解的角度说明了这些矩阵之间的内在联系，这种思想是全新的，从另一个角度证明了Barnett公式，我们说这个公式只是分析基础上的特例化；另一方面，我们统一了研究矩阵的一个基础出发点，从这些理论的推导，我们想更多的看到无穷维的情形。关于无穷维友矩阵，Vlastimil Ptak作了深入的研究，引入了单向无穷维友矩阵的概念，并且做了几乎完美的工作。也正是他的工作激发了我的兴趣。 本文分为四个部分： 第一部分主要说明背景知识。 第二部分介绍一般意义的友矩阵及其重要性质。友矩阵的研究是伴随着一个特征多项式展开的，已知一个矩阵A，它的特征多项式所对应的友矩阵与A有着相同的特征值。有限维友矩阵的这个性质使它和(特征)多项式有着密切的联系，说明了(特征)根和系数的关系，这种关系进一步应用到其它矩阵与多项式的关系，结合友矩阵我们得到一些特殊矩阵之间缠绕关系的本质。 第三部分将推广V.Ptak的一些工作，一个多项式p(z)的无穷维友矩阵的概念以及一些性质被系统叙述。VPtak发现如果w(z)=z，那么次数为n的一对多项式(p(z)，w(z))对应的无穷维友矩阵是一个特殊的情况，它关系到Bezoutians、投影算子、再生核和扩张理论。 第四部分主要面向无穷维友矩阵的应用，在第三部分建立的理论基础上讨论它与其他矩阵的关系，将第二部分和第三部分对照这是必然的想法，我们会发现，如果说友矩阵的基石是多项式的话，那么无穷维友矩阵的基石就是级数。 总的来说，论文从多项式和一般友矩阵出发，引导一定空间上的生成函数和无穷维友矩阵，理论和应用相结合。