近年来，图论作为组合数学的一个重要分支，与量子场论、组合优化、运筹学、物理通讯、计算机科学，统计物理等领域的联系越来越密切。而图论中一个重要问题——关于生成树的研究一直吸引着人们的关注，其中关于生成树的计数问题的研究，也是一个重要的方向。虽然也出现了很多的算法去计算生成树，这些算法大多是基于分析方法的，如Greedy算法、Fleury算法。矩阵树定理则用代数方法解答了图的生成树个数的计算问题。本文在此基础上，进一步考虑推广形式下的矩阵树定理及某些相应的性质。　　在关于图的生成树问题的研究中，把生成树每条边赋予不同的变量，把同一生成树上的这些变量相乘，再把所有的这种生成树单项式相加，得到图的Kirchhoff多项式，又称图的生成树多项式。当把每个变量赋予数值1时，则可以得到关于生成树个数的矩阵树定理。关于图的Kirchhoff多项式，一直是图论中关于生成树的重要课题，它的结构是依据图的生成树定义而来，因为图的类型不同，所以可以得到很多种不同类型的生成树多项式，如果把生成树多项式中的变量定义在有限域上，并考虑它的零点个数，则便是Kontsevich猜想所考虑的一个问题。而对偶Kirchhoff多项式则与特殊情形下的Feynman积分相关的某些不变量的问题相关。　　在本文中，我们计算了某些特殊图的Kirchhoff多项式，并得到了平面图的Kirchhoff多项式与其对偶图的对偶Kirchhoff多项式之间的关系。给出了关于图的Kirchhoff多项式可约的充要条件，并由此得到了两个图的Kirchhoff多项式互质的充要条件。证明了Aztec钻石图的两部分子图的Kirchhoff多项式之间并不存在整除关系。给出了Kirchhoff多项式在某种图运算下的运算，并计算了某些特殊图的Kirchhoff多项式在有限域上的零点个数，及在概率条件下的关于图的生成函数。