KAM理论[1,4,5]是20世纪最杰出的数学成就之一,KAM方法不仅可以用来证明近可积Hamilton系统[4-12], Poisson系统[13-16]和无穷维Hamilton系统[17-20]不变环面的存在性,它在拟周期线性系统的约化[21-30],以及保体积映射轨道稳定性[31-36]等问题中也有着广泛应用.在现实生活中,很多数学物理问题都可以归结为保体积映射的动力系统问题[8,37-39].1962年,Moser[1]建立了保体积映射的KAM理论,他在这方面的杰出贡献对后人有着深远的影响[2,33,34,40,41].Moser在[1]中考虑了如下一类映射其中（r,θ）∈[a,b]×R,γ为小参数,F,G为关于θ的2π周期光滑函数.他证明了当γ足够小时,若dα/dr>0,则（1）包含一族不变闭曲线.在本文中,关于保体积映射,我们研究了KAM环面,近不变环面以及有效稳定性之间的联系,并且在经典的KAM型非退化条件下得到了保体积映射的拟有效稳定性定理,也就是说在相空间上存在一个正测度开子集,使得我们所考虑的映射在该开子集上是有效稳定的,并且该开子集的测度仅依赖于扰动参数的尺度.考虑如下近可积保体积映射其中Tn=Rn/Zn为通常的n维环面,（a,b）c R为一个开区间,∈>0为扰动参数,f0（x,y）和g0（x,y）为关于x的1周期光滑函数.假设（H1）f,g和ω是实解析函数,并且在（Tn×（a,b））+δ上,满足其中M为正常数.定理1.在假设（H1）下,如果ω（y）满足如下条件则存在正常数β,γ,η,ζ及∈0，使得对任意的∈∈(0,∈0],在区间（a,b）上都存在一个开子集Eε,使得如下结论成立.如果映射（2）同时满足定理1中的结论（i）和（ii）,则称映射（?）是拟有效稳定的,并且称β,γ为映射（?）的稳定指数,为稳定时间为稳定半径.在Nekhoroshev定理中,近可积保体积映射的有效稳定性依赖于其可积部分的陡性条件.本文中,我们去掉了陡性条件,并且在KAM型非退化条件下,得到了近可积保体积映射的拟有效稳定性结果.由定理1,这说明在经典的KAM型非退化条件下,近可积保体积映射在相空间的一个满测度开子集上具有有效稳定性.由R的开集构造原理,在开区间（α,b）上,存在至多可数个开子区间Ii，1≤i≤T,T∈N∪{∞},满足Ii∩Ii=（?）,t≠j,并且UiT1Ii=E∈,使得（?）在每一个小区间Tn×Ii上是有效稳定的.因此,有效稳定性蕴含拟效稳定性.以上考虑的是作用变量为1维情形的近可积保体积映射,对于含有多维作用变量的近扭转映射,为了研究其轨道性质,我们建立如下定义：考虑近扭转映射其中,Tn=Rn/Zn为通常的n维环面,G为Rm上的有界开集,f（x,y）和g（x,y）分别为关于x的1周期函数,∈为扰动参数.定义1.如果存在G上的一个开子集G∈,满足以及一个小常数∈0，使得，对于任意的∈∈(0,∈0]以及所有的（x0,y0）∈G∈,当时,以（x0,y0）为起点的轨道满足如下估计其中β,γ,η,ζ为常数,则称映射（?）是拟有效稳定的.定理1考虑的是作用变量为1维情形下的保体积映射,对于含有多维作用变量的近扭转映射,如果用相交性质来代替保体积性,也可以得到类似结论.一般地,本文第四章考虑了如下具有相交性质的高维小扭转映射（?）t其中,为通常的n维不变环面,G为Rm中的有界开集,f∈（x,y）= ∈f（x,y）和g∈（x,y）=∈g（x,y）为关于x的1周期函数,t∈(0,1]为小扭转参数,∈为扰动参数.定理2.如果映射（5）满足如下条件（H1）（解析性）ω,f∈和g∈是Tn×G上的实解析函数,即存在δ>0，使得ω,f∈和gω在（Tn×G）+δ上解析.并且当自变量取实值时,函数值为实值（H2）（正则性）存在某正常数M，使得（H3）（相交性）（?）t在Tn×G上具有相交性质.（H4）（非退化）在G（G的闭包）上,频率映射ω（y）满足如下非退化条件则,以t为参数,∈为扰动尺度的小扭转映射（5）在G上是拟有效稳定性的.近扭转映射的稳定性问题是动力系统理论中的一个重要课题.关于近扭转映射,无论是在KAM稳定性方面还是在Nekhoroshev稳定性方面,人们都取得了非常重要的成果.2002年,Hairer,Lubic h以及Wanner[38]建立了近可积Hamilton系统以及近可积辛映射的一个近不变环面存在性定理,他们认为起始于可积系统Diophanto环面附近的轨道是近不变的.此后,从福仲和洪佳林[15]在2007年得到了近可积Poisso n系统近不变环面的存在性定理.本文第三章考虑了如下小扭转映射（?）：Tn×G→Tn×Rm,其中Tn=Rn/（2πZ）n为通常的n维不变环面,G为Rm上的有界开集,f（x,y）和g（x,y）为关于x的2π周期函数,t∈(0,1]为小扭转参数.若Jacobi矩阵（?）ω/（?）y满秩,则称映射（7）为近扭转映射.在计算数学中经常考虑这一类映射[38].本文考虑了具有相交性质的近扭转映射,因为当作用变量的维数m大于1时的保体积映射一般不具有相交性质.（H1）（解析性）ω,f和g为Tn×G上的实解析函数,即,存在ρ>0使得ω,f和g在∑×Gρ上解析,其中并且当x,y取实变量时,ω,f和g取实值.（H2）（相交性）对任何t∈(0,1],映射（?）在∑ρ×Gρ上具有相交性质.（H3） （Russmann-Xu-You条件）在G上,关于频率映射ω（y）,有如下条件成立定理3.设为任意给定的正常数,若上述假设成立,则存在常数∈*>0使得对任意的E∈(0,∈*]及任意的t∈(0,1]都存在非空Cantor子集G（∈,t）c G,并且当‖f‖+‖g‖<∈时,有如下结论成立.（i）（?）含有一族不变环面Ty,y∈G（∈,t）,其频率ω∞（y,t）在[0,1]上,一致地满足（ii）关于G（∈,t）的Lebesgue测度，在(0,∈*]×(0,1]上,一致地有如下估计与以往不同,我们所考虑的小扭转映射中,作用变量和角变量可以具有不同的维数.在作用变量和角变量维数相同的辛映射中,应该也有类似的结论.