随着经济、金融的全球化，金融风险也呈不断增长的趋势，而且更加复杂化。市场的波动既受到市场中众多投资者复杂心理的影响，在很大程度上又受到市场之外宏观经济环境的制约。因此，市场一般具有非线性特性，金融波动也往往具有相关性，分数维和长记忆等非线性特征，这些现象都是有效市场理论所无法解释的。简单的线性关系显然已经不能充分解释所出现的现象，非线性关系更加普遍，股票市场价格的大幅涨落，以及某些经济时间序列高度的自相关性也表明具有非线性特征。分形理论是非线性科学研究中最活跃的一个分支，其主要研究对象是自然界和非线性系统中出现的非光滑和不规则的几何形体。如何利用分形理论来分析股票市场是一个值得深思的问题。　　一、选题的意义　　现实的金融市场并不是一个可以利用有效市场理论来合理解释的市场，存在许多悖异现象。因此，许多研究人员放弃了用有效市场与随机游走理论对金融市场所进行的线性研究，转而从事以非线性为特征的分形研究，使得非线性研究成为现今金融领域的热点问题。　　1.非线性研究比较符合金融市场的现实情况，线性研究已经不能充分解释金融市场中的现有现象。金融资产收益的波动积聚现象，收益分布的尖峰厚尾特征，长程相关关系等。金融市场呈现为一种复杂的混沌分形形态，仅利用随机游走模型根本不能刻画现实的市场波动，有偏的随机游走才能比较切实地描述市场的发展态势。　　2.作为我国金融体系的一个重要组成部分，股票市场的发展程度对经济的稳定和发展起着重要的作用。因此，如何把握股票市场的发展规律、风险程度、波动性特征等日益成为现今的一个重要问题。本文认为当务之急是合理地借鉴国外关于非线性的分形研究，来探讨中国股票市场的运动规律，以期更好地把握市场，稳定市场，做好投资与决策。　　3.本文详细介绍了国外的分形市场理论和方法，并结合中国股票市场的实际问题，运用重标极差法，相关维和分形维，对中国股票市场的特征和运动规律进行了实证分析。另外，还建立了ARFIMA模型和FIGARCH模型，在一定程度上丰富了从非线性角度来研究中国金融市场的理论和方法。　　4.本文从收益分布的角度分析了股票单资产收益的风险VaR，利用傅立叶变换，以及蒙特卡洛模拟的方法，得出了其一定置信水平的风险VaR。并且，对分形分布和正态分布下的风险VaR进行了对比研究。另外，根据单因子模型和下方风险的理论，对组合资产进行了相应地风险分析，以使投资者和管理者清楚地认识到分形分布在风险管理中的优点及其作用，为组合投资与风险管理做出合理的决策。　　分形理论揭示了整体与部分之间的内在联系，用分形分布取代高斯分布，用有偏随机游走取代随机游走，用赫斯特指数和分形维分析取代方差分析。为描述非线性复杂系统提供了简单的几何语言，并且使人们对系统的思维方法从线性扩展到非线性。它承认空间维数的变化既可以是离散的，也可以是连续的，从一个新的层面上深化和丰富了局部与整体之间的辨证关系，总之，分形理论大大拓展了分析的视野，开阔了的思路。　　二、论文的主要内容　　本文共分六章，第一章绪论，第二章是分形的基本理论，第六章总结与展望，另外的三章是本文的核心部分和创新之处，这三章分别对股票市场的结构特征，波动和风险特性进行了研究。具体内容如下:　　第一章绪论　　本章主要介绍了本文研究的意义，研究背景，以及本文的主要内容和主要创新之处。　　第二章分形的基本理论　　本章针对有效市场理论的不足和缺陷，将分形市场理论和分数维时间序列引入金融市场有效性和金融波动持续性的研究中，对分形市场理论进行了深入的阐述。通过对分形市场理论和有效市场理论的比较，指出了分形市场理论提出的意义。这一章是后续几章的理论基础，后续几章是在此基础之上的进一步的深入。　　第三章分形在长程相关性上应用的研究　　本章主要是从股票时间序列的特性出发，利用重标极差法和分维分析，探讨时间序列长程相关性和长记忆性。分形时间序列的特征是长程相关性，它们不遵循随机游动原则，其概率分布不是一个正态分布，而是区别于高斯分布的分形分布。这种分布具有尖峰厚尾的特性，造成尖峰厚尾的特性的根源在于时间序列的长程相关性。对于具有分形的时间序列，其方差不存在，那么它的风险度量是用它的分维数来衡量的，这就是D=2-H，这儿的D就是分维数，H就是Hurst指数，分维数度量的就是时间序列的参差不齐性，也就是股票的易变性，反映的就是它的风险的大小。如果H=0.5，也就是时间序列是一个高斯分布，则它的Hurst指数为H=0.5，这时的分维值D=1.5，这两个值都与随机、独立的系统相一致;如果1≤D＜1.5，则时间序列是一个比随机游动更光滑、更少参差不齐的线;如果1.5＜D＜2，则时间序列是一个比随机游动更参差不齐的线，即一个有更多的逆转的系统。分维值和Hurst指数存在上述关系，故可以通过H来说明时间序列参差不齐的程度，即H值越低，系统中的噪声就越多，序列就越像随机的。因此，高H值比低H值显示更少的噪声、更强的持久性和更清晰的发展趋势。本文对沪、深大盘指数进行了重标极差分析，得出沪市的H值低于深市的H值，显然，沪市比深市有更强的效率，深市比沪市有更长的持久性。　　通过分维研究，以及对时间序列的系统分析可以看出，沪、深大盘指数的分维数基本上差不多，也就是说，用四到六个变量即可解释整个时间序列的变化。　　第四章分形在市场波动性上应用的研究　　这一章主要将重标极差法计算的Hurst指数和差分自回归滑动平均模型相结合，利用ARFIMA(fractionally integrated ARMA)和FIGARCHA模型，对中国股票市场的波动特性进行了实证分析。该模型的最大优点是允许差分参数为实数而不只是整数。同时ARFIMA模型能够从条件均值上捕捉经济现象中长期记忆特征; FIGARCH模型能够从条件方差上反映序列的长期记忆特征，以及序列变动异方差特性，它可以对过去的冲击持续到将来这种特征进行描述，并对未来的预期产生影响。　　第五章分形在风险计量中的应用研究　　金融资产往往具有尖峰厚尾的特性，即在均值附近的频数比正态分布要多，而且有一个比正态分布更为肥胖的尾部，收益率往往是负偏斜的，左边的尾部比右边的尾部有更多的观测值。对这种特性的描述，分形分布比正态分布做得更好。所以本章主要讨论了分形分布的特征，以及基于分形分布的沪深股市大盘指数的风险VaR计量。鉴于分形分布的特殊性，即没有密度函数的显式形式，本文利用傅立叶变换，得到分形分布的密度函数，接着利用蒙特卡洛模拟的方法得到了其一定置信水平下的风险VaR，并且得到一些比较好的结果，发现分形分布的VaR和正态假设下的VaR相比，在置信水平较低时用分形分布较好，较高时用正态分布较好。另外本章还利用分形分布的单因子模型和低位矩(Lower Partial Moment LPM)模型从理论上对组合资产的风险进行了探讨。　　三、论文的创新点　　1.针对有效市场理论的局限性，本文利用非线性理论研究了中国股票市场的分形特征，并用重标极差法、分形维数、和相关维，对中国股票市场分形的结构特征进行了实证分析。中国股票市场存在着长期记忆性，还不是一个弱式有效的市场。另外，通过对沪、深两市大盘指数长记忆的比较，以及长期相关性强弱的分析，本文从分形的角度再一次验证了沪、深两市的强弱关系。　　2.股票市场的收益率和其波动性过程都存在着长记忆的特性，这种特性意味着突发事件会对股市产生长程，滞后的影响。换言之，当前的收益会对以后的收益产生影响，当前的风险会影响到未来的风险。本文将重标极差法计算的Hurst指数和差分自回归滑动平均模型相结合，利用Granger，Joyeux和Hosking，以及Brockwell和Davis提出的分形差分自回归模型(Fractionallydifference autoregressive model)和FIGARCHA模型对中国股票市场的波动特性进行了实证分析。　　3.由于分形分布不存在二阶矩，所以用方差来衡量风险不再合理，同时，有效市场下的股票收益的组合风险计量方法"均值-方差"分析法也不再适用。本文利用傅立叶变换，得到分形分布的密度函数，接着利用蒙特卡洛模拟的方法得到了其一定置信水平下的风险VaR，并且发现，分形分布的VaR和正态假设下的VaR之间，在置信水平较低时用稳态分布较好，较高时用正态分布较好。当置信水平比较高时，即置信水平大于97％时，用稳态分布拟合经验分布得到的VaR高估了风险，用正态分布则低估了风险，且稳态分布的绝对偏差大于正态分布的绝对偏差;在置信水平小于97％时，稳态分布对经验分布的VaR拟合的非常好，但是正态分布相对于经验分布则高估了风险，且绝对偏差比较大。另外，基于分形分布，从理论上讨论了单因子模型和低位矩模型，给出了关于分形分布的低位矩模型的两个优化形式，在一定程度上拓展了Harlow研究风险的方法。