近年来具有非平庸拓扑性质的相互作用的关联拓扑态成为了凝聚态物理的重要研究方向。由于拓扑绝缘体理论基于单粒子能带论，因而寻找强关联系统的拓扑物质态以及有效地描述它们依然是富有挑战的问题。本论文研究了一维强相互作用系统的关联拓扑物质态，主要包含两类典型的强关联系统，即具有空间结构的量子自旋链和自旋轨道耦合的超冷原子气体。　　我首先在第一章对低维拓扑物质态及其描述方法作一个入门介绍。由于一维系统具有与高维系统显著不同的行为，在第二章我将简单介绍一维系统的一些奇异物理性质，比如由于强量子涨落导致的Luttinger液体行为，以及激发的分数化等。对于一维系统存在着成熟的处理方法，最重要的包括作为低能有效理论的玻色化方法以及数值上的密度矩阵重整化群方法。随后我将转入对所作工作的讨论。　　在第三章，我们展示一维具有特殊空间结构的量子自旋链系统中存在的与磁化平台有关的关联拓扑态，并且揭示量子霍尔电导率平台与磁化强度平台之间的深刻联系。先前Oshikawa，Yamanaka与Affleck(OYA)对于周期性结构的自旋链的理论和数值研究表明系统在某些特定的磁化时可能存在带能隙的激发，从而在磁化曲线中出现一些平台结构。这些平台位置由交换作用的调制周期决定。当系统出现平台态时，可以用定义在二维参数空间的陈数描述，在开边界条件下，系统存在着连接不同磁子能带的边界态，它们受到体能隙的保护。对于超出了OYA判定的具有准周期结构的量子自旋链，仍可以发现在磁化曲线中存在一系列的非公度的磁化平台，这些平台的位置由准周期参数以及系统尺寸共同决定。另外，对于具有空间结构的自旋-1量子自旋链，尽管基于低能有效理论，其与自旋-1/2系统存在着明显不同的行为，但是由于空间结构调制导致的拓扑态与自旋-1/2呈现出一些一般的行为。在这里，我们给自旋-1与自旋-1/2系统磁化平台的位置及对应的拓扑不变量给出统一的描述，它们满足广义的Streda公式。更有趣的是，两者的磁子激发谱呈现漂亮的分形结构，类似二维格点上的量子霍尔效应的Hofstadter蝴蝶谱。除了一些自相似的小能隙，对于自旋-1/2，存在着两个大能隙，对于自旋-1，除了Haldane能隙，存在着四个大能隙。以上的研究解释了一维自旋链系统磁化平台的拓扑起源，表明这些平台态是强关联拓扑态。　　上面已经将磁化平台和整数量子霍尔效应对应起来，自然地，在第四章，我们试图在周期性的自旋链中找到分数态的存在。结果发现在系统加短程的次次近邻相互作用，对某些特定的磁化强度，系统可以出现分数态。严格的数值计算表明，这些分数态有着近简并的基态能级，在热力学极限下，存在着有限的能隙将基态流形与激发态分隔开。这些受能隙保护的基态流形可以用拓扑不变量陈数来刻画。对于自旋-1/2系统，分数磁化态支持满足分数阿贝尔统计的低能激发。对于自旋-1系统，当把自旋-1和三体玻色子一一映射后，则存在着一些满足分数非阿贝尔统计的关联拓扑态。以上满足分数统计的低能激发数可以通过广义的Pauli不相容原理导出。这里发现的自旋链系统的满足分数统计的态为理论研究关联系统的分数态提供了另一种思路。　　在第五章，我们研究了另一类实验实现的一维关联系统，即自旋轨道耦合的吸引费米气中存在的关联拓扑态。关于吸引相互作用引起的配对能否使得该系统支持拓扑超流（导）态存在广泛的争议。由于一维系统量子涨落太大，平均场结果极为不可靠。为此，基于低能有效理论，我们介绍具有U(1)守恒系统中拓扑超流态存在的条件，并通过密度矩阵重整化群数值计算，研究了光晶格系统1/4填充时的相图。我们的结果表明了该粒子数守恒系统中各种奇异的配对相的存在。由于吸引相互作用，自旋轨道耦合和Zeeman场的共同存在，体系发生一系列的相变。在相图中的中等强度自旋轨道耦合与磁场强度参数区域，拓扑超流相能够存在。由于体系的强关联特性，该拓扑超流态能够由无能隙的单粒子激发，Luttinger参数，以及非平庸的边界效应唯一确定。我们的研究不仅严格证实了一维自旋轨道耦合系统存在拓扑超流态而且为今后冷原子实验模拟提供了理论依据。