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本文涉及到我们两个方面的研究工作：一是关于小世界网络的信息导航；另一是关于圈量子引力自旋网络的自组织临界性。其主要内容和结果如下：
1．在具有周期性边界条件的N×N二维四方晶格上，我们构造了改进型的Watts-Strogatz(W-S) 小世界网络模型，也即让每个节点以概率p(0≤p≤1)释放一条额外的长程链接(捷径)到非其原始最近邻节点的另一节点，且此概率正比于r<'-a>，其中r为两节点间的晶格距离。在此小世界网络模型上，我们假设网络上的节点只掌握了其最近邻节点的信息，并用“吞噬”算法研究了有目标的信息导航问题。
在信息导航过程中，我们发现信息被传递给固定目标所经历的平均真实路径长(the average actual path length)具有如下标度关系：当a<3且a≠2 时，≡/N～fa(pL)，其中L是小世界网络构造过程中所添加的长程链接的平均长度。当给定pL>1时，可以观察到动态小世界效应，且当pL足够大时，标度关系可具体表示为～p<'γ(a)>N<'1-γ(a)>。当a=2，3时，此标度关系被打破，不再能被表征为pL的函数。当a=2且N足够大时，我们得到～ln N(lnp+ln N)/p，此时也是最接近静态小世界的情况。当a = 3时，我们得到的标度率为～f(pLln N)，且相应地当pLln N足够大时，～p<'-γ>N(ln N)<'-2γ>。当a>3，近似为N的线性函数。
除了上述标度关系外，我们还重点研究了平均真实路径长与网络尺寸N之间的关系。研究结果表明，当a≠2时，平均真实路径长是网络尺寸的幂率函数，也即：=c(α，p)N<'1-γ>(a)=c(α，p)N<'β(α)>，其中的幂率指数β(α)完全独立于p，N。当α=0时，β～0.69，与Kleinberg的结果αN<'2/3>十分相符。随着α的增长，β单调减小，但总是不小于0。当α增长至大于α<'1><,c>=2时，β开始随α的增长而单调增加，但总不大于1。当α>α<'1><,c>=3时β将快速趋于固定值1。
2．在量子引力领域，我们用统计物理学的方法研究了在圈量子引力自旋网络上的自组织临界行为。我们所讨论的主要是冻结的自旋网络模型(the frozenspin network)，此类自旋网络是一种简化的圈量子引力模型，其基图不变，但是表征边的颜色(也即自旋的两倍)可以变化。我们研究了两类根据自组织临界现象的经典模型——沙堆模型而构造的圈量子引力自旋网络的类沙堆演化模型：一类是随机边模型，也即随机选取一条边并将其颜色改变一个偶数色；另一类是随机点模型，也即随机选取一个节点并同时将依附其上的三边的颜色改变一个偶数色。由于边颜色的改变通常将引起规范不变条件的不满足，为了重新获得系统的规范不变态我们需要定义合适的颜色传播法则以完成演化，可能的传播法则是多样的。在此，考虑到节点间并非独立，而是相互依赖的，为了使得圈自旋网络系统的演化呈现出自组织临界性，我们设计的颜色传播法则是：边颜色的变化值是由其所依附的节点及此节点的最近邻节点来共同决定的，并以某种概率在介于2和某初始最大色间的偶整数中随机选取。通过在二维平面三价自旋网络上的模拟，我们发现：在此颜色传播法则下，圈量子引力自旋网络的类沙堆随机边模型的演化过程中的雪崩大小和雪崩区域的分布均呈现出明显的幂率行为，此结果表明在我们所设计的颜色传播法则下，系统演化表现出标度不变性，也即系统展现出自组织临界行为。
此外，在圈量子引力自旋网络演化的类沙堆随机点模型中，我们同时考虑了颜色的加减并存的情况，具体的颜色演化规则为：在系统回归规范不变态时，将不满足规范不变条件的节点的三边同时以概率p增加颜色+2，而以概率1 - p减去颜色2。当p=0.51时，系统的演化出现了明显的双幂率行为，也即展现出了明显的竞争行为。