本文首先介绍凸体几何的发展历史和主要分支。本硕士论文主要以对偶Brunn-Minkowski理论中的基本事物：相交体和混合相交体为研究对象，利用几何分析的渐进理论、局部理论和积分变换方法来讨论它们的度量不等式和极值问题，以更好地揭示经典凸性理论与对偶BrunnMinkowski理论之间的关系。 投影体是凸几何理论在解决问题时强有力的工具，并在过去三十年中成为众多数学家研究的焦点。在第二章对它的对应物混合相交体的积分定义和基本性质进行了讨论，如正齐次性、正多线性性、正交变换下的变化等，并在对偶Brunn-Minkowski理论的指导下建立了混合相交体的一些经典不等式，如对偶Minkowski不等式，对偶Aleksandrov-Fenchel不等式和对偶Brunn-Minkowski不等式。Brunn-Minkowski不等式是凸几何经典理论中最核心的内容，本文第三章建立了相交体及其星体极关于p次径向和与调和Blaschke和的对偶Brunn-Minkowski不等式，还讨论了有关商星体的混合相交体的一些不等式。对偶的Brunn-Minkowski理论是上世纪70年代产生的新兴研究领域，是Lutwak引入星体的对偶混合体积的基础上建立起来的，而对偶均质积分是对偶混合体积的一种特殊情况。第四章首先引入了对偶调和均质积分的概念，找到了原点中心对称的凸体的对偶均质积分和对偶调和均质积分之间的关系式；并利用Busemann相交体不等式重新证明了星体的两个对偶均质积分之间的一个经典不等式。