图像变换一直是正交多项式应用的热点方向,而图像安全又是图像变换的重要研究领域。由于多项式不仅具有去相关性和迭代速度快的优势,而且计算精确,所以被广泛应用到数字水印、图像加密、篡改检测等图像安全领域。而且,矩阵形式的多项式是用于表征图像特征的强大工具,其在图像重建上有不错的表现。分数阶理论的提出,理论意义上是扩大了离散点的取值范围,完备了频域谱空间。分数阶理论与Tchebichef正交变换的结合,让离散Tchebichef正交变换这种优良的图像变换构建了完备的谱空间,这对于图像变换研究具有重要意义。本文将研究工作分为以下三个部分:1.在更进一步研究正交多项式的基本数学模型之后,本文选择Tchebichef多项式作为研究离散正交多项式的对象。理解Tchebichef多项式的定义,性质,然后分析了特征值分布的特点,使用特征分解的方法得到Tchebichef矩的特征值以及特征向量。将特征值的幂次进行修改,得到分数阶Tchebichef多项式变换(Fr DTT)的基本模型。此外,还对分数阶离散Tchebichef变换的性质和多样性序列进行了分析。2.本文提出了基于分数阶离散Tchebichef变换(Fr DTT)的数字水印算法。先将原始图像分块,再在每个分块上使用Fr DTT,接着用抖动调制的方法将水印嵌入到宿主图像中,最后使用逆分数阶离散切比雪夫变换(i Fr DTT)得到嵌入带有版权信息的宿主图像。水印的提取则是采用最小距离解码器的方法。通过选择合适的分数阶系数使得嵌入的水印相较于传统的整数阶Tchebichef多项式变换有更好的水印不可见性,解决水印在传输过程中的安全问题。此外,分数阶系数可作为水印嵌入算法新增加的秘钥,使得攻击者在破解水印信息的时候需要耗费更长的时间,增强了水印传输的安全性。3.为了更深层次地探索Fr DTT在图像安全领域的潜力和描述能力,提出了基于Fr DTT的图像加密、图像重建算法。图像加密先是采用混沌映射产生序列作为秘钥一,然后将生成的Fr DTT行、列向量秘钥二,最后根据这两个秘钥对图像进行加密操作。分数阶的引入进一步扩展了秘钥空间,为图像安全方面提供了一定的保障。图像重建是利用更少Tchebichef矩的阶数来重建图像,以此达到使其与原始图像差别很小的目的。实验结果表明:在噪声攻击下,利用分数阶离散切比雪夫变换(Fr DTT)的图像重建效果要优于整数阶离散切比雪夫变换(DTT)。